向量的坐标表示.docx

§4.1 平面向量 （四） ——平面向量的直角坐标及运算 一、 复习旧知：（1）坐标系和点的坐标表示； （2）数和向量的意义和表示方法。 导入：哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问 题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出 “在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示”。同样，在平面直角坐标系内， 每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”启发学生思考 二、 新授： 1、用坐标表示起点为原点的平面向量： i、 j 分别是与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量。则 y y N A(4,3) j x 0 i M 一般地，在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数 x、y，使得 a=xi+yj 我们把有序数对（x,y）叫做向量 a 的直角坐标，记作 a=(x,y) 我们把 ( x , y ) 叫做向量a 的直角坐标，记作 a (x, y) 其中 x 叫做a 在 x 轴上的坐标， y 叫做a 在 y 轴上的坐标。 2、运算律： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： ?? ? ? (x ? x , y ? y ) （其中? ? (x , y ), ? ? (x , y ) ） a b 1 2 1 2 a b 1 1 2 2 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标： 如果 A(x , y AB1 1 AB ), B(x , y 2 2 ) ，则 ?? ? (x 2 x , y 1 2 ? y ) ； 1 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： aa若? ? (x, y) ，则? ? ? (?x, ?y) ； a a 例题 1： 用:单位向量? 、? 分别表示向量? 、? 、? 、? ，并求它 i j a b c d 们的坐标； 方法一： ? = ?? ? ?? =2 ? +3 ? ，? ? =（2，3）同理? =（-2，3）， ? = a AA AA i j a b c 1 2 （-2，-3）， d? =（2，-3） d a方法二：? A（2，2），B（4，5）? ? =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2） a = （2，3） 同理? =（-2，3）， ? =（-2，-3）， ? =（2，-3） b c d aOAOBOB?? ?? ? ?? a OA OB OB 方法三：? =（2，2）， =（4，5）? =  ?? =（4，5）-（2，2） -OA=（4-2，5-2）=（2，3） - OA 同理? =（-2，3）， ? =（-2，-3）， ? =（2，-3）（2，2）=（2，3） b c d 例题 2：已知 a=（1,2）,b=(-5,3),求 a+b,a-b,3a-2b 分析：用向量的运算律进行计算 :拓展练习： 例题 3：已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点 D 的坐标； 分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求 D 点的坐标； AB解：设 D 点坐标为（x，y） ?? AB =（-1，3）-（-2，1）=（1，2） DC?? =（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y） DC 由AB?? = D?C? 由 AB 得 1=3-x，2=4-y，所以 x=2，y=2，即 D 点的 坐标为 （2，2） 三、练习 已知：点 A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若 A??P ? A??B? ? ? A??C(? ? R) ， 试求? 为何值时，点 P 在一、三象限角平分线上？点 P 在第三象限内？ 四 小结:（1）用坐标表示起点为原点的平面向量：（2）运算律五、作业：教材第 94 页 2、3、4 题 练习课 一、复习：（1）平面向量的坐标表示； （2）平面向量的坐标运算律 导入：某人在推小车，水平方向位移为s 推力 F 的方向与地面夹角为 30 度，它做的功 W 等于力 F 在小推车位移：W=FScos30 小车位移方向 二、新授： 1、平面向量的数量积的定义： 向量a, b 的夹角：已知两个非零向量 a, b ，过 O 点作OA ? a ， OB ? b, 则∠AOB=θ （00≤θ ≤1800）叫做向量a, b 的夹角。 当且仅当两个非零向量 a, b 同方向时， θ =00，当且仅当 a, b 反方向时θ =1800，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 a与b 垂直；如果a, b 的夹角为