小学奥数几何之蝴蝶定理.docx

定理 3：任意四边形中的比例关系 定理 3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1 ） S ∶ 1 2 4 3 S =S ∶S 或 S ×S = S ×S 1 3 2 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3） 一、 基本知识点 定理 1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S : S = a : b 1 2 定理 2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 5 ? 4 ? 20 3 1 3 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S1∶S3 =a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S1∶S3 =a2∶b2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 1 3 2 4 定理 4：相似三角形性质4）S 的对应份数为（a+b 定理 4：相似三角形性质 a ? b ? c ? h A B C H 2） S ∶S = a2 ∶A2 1 2 定理 5 定理 5：燕尾定理 S△ABG ∶ S△AGC = S△BGE ∶ S△GEC = BE∶EC S△BGA ∶ S△BGC = S△AGF ∶ S△GFC = AF∶FC S△AGC ∶ S△BCG = S△ADG ∶ S△DGB = AD∶DB BD例 1、如图， AD ? DB ， AE ? EF ? FC ，已知阴影部分面积为5 平方厘米， ABC B D E F C 例 2、有一个三角形 ABC 的面积为 1，如图，且 AD ? 1 AB ， BE ? 1 BC ， CF ? 1 CA ，求 2 3 4 三角形 DEF 的面积. ADF例 3、如图，在三角形 ABC 中，，D 为 BC A D F E 上的一点，且 BE= 上的一点，且 BE= 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积是 35，求 形 ABC 的面积. 三 角 E 为 AB C 例 4、例 1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 例 5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 例 6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 例 7、（小数报竞赛活动试题） 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例 8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为 9 平方厘米，三角形BOC 的面积为25 平方厘米，求梯形 ABCD 面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？ 例 8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为 9 平方厘米，三角形BOC 的面积为 25 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。 9O 25 9 O 25 B C 例 9、（2003 北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛） 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O （如图）所示。 1 如果三角形 ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的 3 ，且 AO ? 2 ， DO ? 3 ，那么CO 的长度是 DO 的长度的 倍。 DAO D A O 例 10、左下图所示的ABCD 的边 BC 例 10、左下图所示的 ABCD 的边 BC 长 10cm，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8cm，已知 例 11、长方形ABCD 的面积为 36 平方厘米，E、F、G 分别为边 AB、BC、CD 的中点，H 为 AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？ 例 12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和 12 厘米，求阴影部分的面积。 例 13、如图，大正方形 ABCD 的边长为 6，依以下条件求三角形BDF 的面积。 例 14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为 15、18、30 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？ 例 15、如下图，已知D 是BC 的中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，且?ADG 的面积比 ?EFG 的面积大 6 平方厘米。?ABC的面积是多少平方厘米 ? A FGB D E F G 三、 练习题 1、如图，四边形ABCD 中，AC 和 BD 相交于 O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面积 =4，三角形 AOB 的面积=15，求三角形 BOC 的面积是多少？ 2、如图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成