向量与空间解析几何.docx

PAGE PAGE 10 第九章 空间解析几何 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念. 理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算. 理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图 形. 了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重点 向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的 投影. 难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形. （二）内容提要 空间直角坐标系 在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴， 一般是把 x轴和y轴放置在水平面上，z 轴垂直于水平面. z 轴的正向按下述法则规定如下： 伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转 900指向 y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就 组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中， x 轴称为横轴， y 轴称为纵轴， z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面. x 轴与 y 轴所确定的坐标面称为 xOy 坐标面，类似地有 yOz 坐标面， zOx 坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限. 在空间直角坐标系中建立了空间的一点 M 与一组有序数 (x, y, z) 之间的一一对应关 系。有序数组(x, y, z) 称为点 M 的坐标； x, y, z 分别称为 x 坐标， y 坐标， z 坐标. 向量的基本概念 ⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量． ⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用 a 或 AB 表示向量的模． ⑶单位向量 模为 1 的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的. ⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量. ⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量. ⑺向径 终点为 P 的向量OP 称为点 P 的向径,记为OP . 向量的线性运算 ⑴ 向量的加法 ① 三角形法则 若将向量a 的终点与向量b 的起点放在一起，则以a 的起点为起点， 以b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和向量，记为a ? b .这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. ② 平行四边形法则 将两个向量a 和b 的起点放在一起，并以a 和b 为邻边作平行四 边形，则从起点到对角顶点的向量称为 a ? b .这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则. 向量的加法满足下列运算律. 交换律： a ? b = b ? a ； 结合律：（ a ? b ）+ c = a +（ b + c ）. ⑵ 向量与数的乘法运算 实数? 与向量a 的乘积是一个向量，称为向量a 与数? 的乘积，记作?a ，并且规定： ① ?a ? ? a ； ②当? ? 0 时， ?a 与a 的方向相同；当? ? 0 时， ? a 与a 的方向相反； ③当? ? 0 时， ?a 是零向量. 设?, ? 都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律： ?(? a) ? (??) a ? ?(? a) ； 分配律：(? ? ?) a ? ? a ? ? a , ? ( a + b )= ? a + ? b . 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算. ⑶ 求与a 同向的单位向量的方法 设向量a 是一个非零向量，则与a 同向的单位向量 a ae ? . a a ⑷ 负向量 当? ? ?1 时，记(-1) a =- a ，则- a 与a 的方向相反，模相等，- a 称为向量a 的负向量. ⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a - b = a +(-1) b . 向量的减法也可按三角形法则进行，只要把 a 与b 的起点放在一起，