小学数学竞赛三角形等高模型与鸟头模型教师版解题技巧 培优 易错 难.docx

4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型例题精讲 4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型 例题精讲 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积? 底? 高?2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 1 倍，底变为原来的 ，则三角形面积与原来的一 3 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 S : S 1 2 ? a : b s1 s2 s1 s2 a b C D ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S  △ ACD ? S ； △BCD 反之，如果 S  △ ACD ? S △BCD ，则可知直线 AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， 则 S : S ? ( AB ? AC) : ( AD ? AE) △ ABC △ ADE D A A D E E B C B C 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在 △ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点，且 AD : AB ? 2:5 ， AE : AC ? 4:7 ， S△ ADE ? 16 平 方厘米，求△ABC 的面积． DE D E DE D E B C B C 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 BE ， S  △ ADE : S △ ABE ? AD : AB ? 2 :5 ? (2 ? 4) : (5 ? 4) ， S △ ABE : S △ ABC ? AE : AC ? 4 : 7 ? (4 ? 5) : (7 ? 5) ，所以 S  △ ADE : S △ ABC ? (2 ? 4) : (7 ? 5) ，设 S  △ ADE ? 8 份， 则 S △ ABC ? 35 份， S △ ADE ? 16 平方厘米，所以1 份是2 平方厘米， 35 份就是70 平方厘米， △ABC 的 面积是70 平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相 等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70 【巩固】如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ DEA D E DEB C B D E 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 BE ． ∵ EC ? 3AE ∴ S V ABC ? 3S  V ABE 又∵ AB ? 5AD ∴ S 【答案】15  V ADE ? S V ABE ? 5 ? S  V ABC ?15 ，∴ S  V ABC ? 15S  V ADE ? 15 ． 【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， BD ? DC ? 4 ， BE ? 3 ， AE ? 6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ E甲乙 E 甲 乙 E甲乙B E 甲 乙 B D C 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 AD ． ∵ BE ? 3 ， AE ? 6 ∴ AB ? 3BE ， S  V ABD ? 3S V BDE 又∵ BD ? DC ? 4 ， ∴ S 【答案】5  V ABC ? 2S  V ABD ，∴ S  V ABC ? 6S ， S V BDE 乙 ? 5S ． 甲 【例 2】 如图在△ABC 中， D 在 BA 的延长线上，