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(完整word版)[高一数学]不等式恒成立问题的处理 (完整word版)[高一数学]不等式恒成立问题的处理 (完整word版)[高一数学]不等式恒成立问题的处理 不等式恒成立问题的处理 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型；②二次函数型；③ 其他类不等式恒成立 一、一次函数型 nmoxy给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠ n m o x y n n m o x y 例1．对任意，不等式恒成立,求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题. 解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意. 当时，应有解之得。 故的取值范围为。 注:一般地,一次函数在上恒有的充要条件为。 练习：对于满足｜a｜2的所有实数a，求使不等式x2+ax+1〉2a+x恒成立的x的取值范围。 解：原不等式转化为(x-1）a+x2-2x+10, 设f(a)= (x-1）a+x2-2x+1，则f（a)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴x〈-1或x3。 例2. 已知（其中a为正常数）,若当x在区间［1，2］内任意取值时,P的值恒为正,求b的取值范围. 解：P变形为 设 ∴ 因此，原题变为当t在区间[0，1］内任意取值时，f（t)恒为正,求b的取值范围. 由充要条件，当 (1） 或 （2） 解（1)得 解（2）得 故，当时, 当 例3 设，若当时，P〉0恒成立，求x的变化范围。 解：设 当时的图像是一条线段，所以a在上变动时，P恒为正值的充要条件是 即 解得 即x的取值范围是 二次函数型 (1)当二次函数的定义域为R时： 若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）大于0恒成立，则有若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)小于0恒成立,则有 例1.若函数在R上恒成立,求m的取值范围。 略解：要使在R上恒成立,即在R上恒成立。 时, 成立 时，， 由，可知， 例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。 所以实数的取值范围为。 练习1：.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。 (2）当二次函数的定义域不是R时,即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。 例1：若时,恒成立，求的取值范围. 解:，令在上的最小值为。 ⑴当，即时, 又 不存在。 ⑵当，即时, 又 ⑶当，即时， 又 总上所述，. 变式2：若时，恒成立，求的取值范围. 解法一：分析:题目中要证明在上恒成立,若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 略解：，即在上成立。 ⑴ 2—2⑵ 2 —2 综上所述，。 解法二：（利用根的分布情况知识） ⑴当，即时， 不存在。 ⑵当，即时，， ⑶当，即时，, 综上所述。 例2. 已知函数在其定义域内恒为非负,求方程的根的取值范围。 解：因为f（x）恒为非负，则解得，方程化为 当时,则 所以 所以 当时，则 所以 所以方程的根的取值范围是 例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。 解：设，则当时，恒成立 当时，显然成立； Oxyx-1当 O x yx -1 解得。 综上可得实数的取值范围为。 其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）恒成立 2)恒成立 例1．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 解：设， 则由题可知对任意恒成立 令，得 而 ∴ ∴即实数的取值范围为。 例2．函数，若对任意,恒成立,求实数的取值范围。 解：若对任意，恒成立， 即对,恒成立， 考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得 而抛物线在的最小值得 注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。 分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有： 1)恒成立 2）恒成立 实际上,上题就可利用此法解决。 例1．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。 解： 将问题转化为对恒成立。 令,则 由可知在上为减函数，故 ∴即的取值范围为。 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 例2.已知函数,常数，求(1）函数的定义域； （2）当满足什么条件时在区间上恒取正。 解：（1） ，又 定义域 （2）欲使在恒成立，则在恒成立， 由于，所以函数在单调递增，所以 且。 例5 已