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第4篇 振动与波动 第10章 机械振动 1 本章学习要点 l 简谐振动 l 简谐振动的合成 l 阻尼振动、受迫振动与共振 l 本章小结 2 10.1 简谐振动 物体运动时，如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。 10.1.1 简谐振动的运动方程 如下图所示，一轻弹簧(质量可忽略不计)放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m 的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。 3 如上图(a )所示，弹簧处于自然长度时，物体沿水平方向 所受的合外力为零，此时物体所在的位置O点称为平衡位置。以 O点为坐标原点，以弹簧的伸长方向为x轴正向建立坐标系。 如上图(b)所示，在弹簧的弹性限度内，将物体从平衡位 置向右拉至位置P点，然后放手。物体在向左的弹力作用下，向 左加速运动。当到达平衡位置O时，物体所受的弹力为零，加速 度也为零。 但此时物体的速度不为零，由于惯性作用，物体将继续向 左运动，使弹簧被压缩，从而产生向右的弹力阻碍物体运动， 使物体向左做减速运动，直到速度为零，此时，物体到达左边 最远处P′点，如上图(c )所示。然后，物体又在向右的弹力作 用下，从P′点返回，向右加速运动。这样，物体在弹力和惯性的 作用下，在平衡位置附近的P点和P′点之间做往复运动。 4 由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx 上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。 根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为： 因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω 的平方表示，即ω2 ＝k/m ，故上式可写为： 上式表明，物体做简谐振动时，其加速度的大小与位移的大 小成正比，方向与位移的方向相反。这是简谐振动的运动学特征 5 上式称为简谐振动的运动方程(或振动方程)。将上式分别 对时间t求一阶导数和二阶导数，可得简谐振动物体的速度和加 速度分别为： 由于加速度a＝d2x/dt2 ，因此，上式可写为： 上式称为简谐振动的动力学方程，它是一个微分方程，其 解为： 6 【例10-1】如下图所示，一质量为m 、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状 态。将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点 在竖直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复 摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证 明在摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。 【解】以OO′为平衡位置，设逆时针转向为θ 角正向，棒在任意时刻的角位移都可用棒与OO′ 的夹角θ表示。根据题意，棒所受的重力矩为： 7 上式中负号表示重力矩使棒产生的转动趋势始终与棒的角位 移θ反向。 根据转动定律可得： 因J＝ml2/3 ，将上式整理可得： 令ω2＝3g/2l，则上式可写为： 将上式与式(10–4)比较可知，在摆角很小的情况下，细 棒在平衡位置的摆动为简谐振动。 8 当摆角θ很小时， sinθ≈θ，故 10.1.2 描述简谐振动的物理量 振幅、周期、频率、角频率、相位及初相等都是描述简谐 振动的物理量，其中， 振幅、角频率和初相三个量可以完全确 定一个简谐振动，称为简谐振动的特征量。 1．振幅 在简谐振动的运动方程x＝Acos (ωt＋p)中，由于|cos (ωt＋p) |≤1，所以， |x|≤A。我们把做简谐振动的物体离开平衡 位置的最大距离A称为振幅，它确定了物体的振动范围。在国际 单位制中，振幅的单位为米(m )。 9 2．周期与频率 物体完成一次全振动所经历的时间称为周期，用T表示。 物体从位置P经原点O到达位置P′，然后返回，再经原点O回到 位置P，物体就完成了一次全振动，其所经历的时间就是一个 周期。因此，物体在任意时刻t的位移和速度，分别与时刻t＋T 的位移和速度完全相同，即 单位时间内物体所完成的全振动次数称为频率，用 表示， 根据余弦函数的周期性，满足上述方程的T的最小值应为ωT 显然，频率等于周期的倒数，即 ＝2π，于是 10 上式表明， ω是频率的2π倍，表示物体在2π秒内完成的全振 动次数，故ω称为角频率或圆频率。 周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢的物理量。在 国际单位制中，周期的单位为秒(s )；频率的单位为赫兹(Hz) ；角频率的单位为弧度每秒(rad/s)。 对弹簧振子，由于 故有： 由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度