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上海市曹杨二中2023学年度第一学期
高二年级期中考试数学试卷
考生注意:
1、答卷前,考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2、本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟,请考生用水笔或圆珠笔将答案直接写在试卷(或答题卷)上.
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1. 已知三个平面两两互相垂直,它们的三条交线交于点O,若点P到三个平面的距离分别为1、、,则的长为______.
2. 设集合,集合,则______.
3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为______.
4 已知,设向量,.若,则______.
5. 在长方体中,,,,则异面直线和的距离为______.
6. 设a>0,b>0,若是与3b的等比中项,则的最小值是__.
7. 已知球的半径为,有两个平行平面截球所的截面面积分别等于与,则这两个平行平面的距离为__________.
8. 已知正方形在平面的同一侧,若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3,则直线与平面的位置关系为______.(填“平行”或“相交”)
9. 已知是棱长为1的正四面体.若点满足,其中,则的最小值为______.
10. 如图,求一个棱长为的正四面体的体积,可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到,类比这种方法,一个三对棱长相等的四面体,其三对棱长分别为,则此四面体的体积为_______;
11. 已知函数,若对于图像上的任意一点,在的图像上总存在一点,满足,且,则实数___________.
12. 已知是边长为1的等边三角形.对于空间中任意一点M,设P为内部(含边界)一动点,定义PM的最小值为点M到的距离.则空间中到的距离不大于1的点形成的几何体的体积为______.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第15~16题每题5分)
13. 已知直线平面,则“直线”是“”的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
14. 若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为,则侧棱与底面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
15. 设,.若对任意实数,函数在区间上函数值出现的次数不少于2次且不多于6次,则的值是( )
A 1或2 B. 2或3 C. 3或4 D. 4或5
16. 已知正四棱柱底面边长为,高为,则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
17. 在空间直角坐标系中,已知、、.
(1)若点满足,求;
(2)求的面积.
18. 在如图所示的圆柱中,是底面直径,是圆柱的母线,且.设是底面圆周上的动点.
(1)求圆柱表面积和体积;
(2)当二面角的大小为时,求点到平面的距离.
19. 如图,在三棱锥中,和都是等腰直角三角形,且,,二面角的大小为.
(1)求证:直线AB与直线PC不垂直;
(2)求直线PB与平面ABC所成角正弦值.
20. 如图,长方体中,,,点是棱的中点.
(1)求异面直线与所成的角的大小;
(2)是否存在实数,使得直线与平面垂直?并说明理由;
(3)若.设是线段上的一点(不含端点),满足,求的值,使得三棱锥与三棱锥的体积相等.
21. 对于项数为的有穷数列,若,则称为“数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为,.分别判断、是否为“数列”;(只需给出判断)
(2)已知“数列”的各项互不相同,且,.若也是“数列”,求有穷数列的通项公式;
(3)已知“数列”是的一个排列(即数列中的项不计先后顺序,分别取),且,求的所有可能值.
上海市曹杨二中2023学年度第一学期
高二年级期中考试数学试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1. 已知三个平面两两互相垂直,它们的三条交线交于点O,若点P到三个平面的距离分别为1、、,则的长为______.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系,写出,求出答案.
【详解】由于三个平面两两垂直,三条交线分别为轴,建立空间直角坐标系,
设,则,则.
故答案为:
2. 设集合,集合,则______.
【答案】
【分析】求出,进而求出交集.
【详解】,,
故
故答案为:
3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为______.
【答案】
【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线,利用侧面积公式求出答案.
【详解】由题意得,圆锥的底面半径为,母线长为,
故圆锥的侧面积为.
故答案为:
4. 已知,设向量,.若,则______.
【答案】2
【分析】按向量的坐标运算规则展开即可.
【详
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