2023-2024学年上海市延安中学高二上学期期中考试数学试卷含详解.docxVIP

上海延安中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023．11 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，共42分） 1. 在正方体中，，则直线到平面的距离为______． 2. 圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为______． 3. 已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______． 4. 如图为正六棱柱，与直线异面的侧棱共有______条． 5. 在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为______． 6. 设，由，，，…，为质数，归纳猜想为质数．该猜想______．（选填“正确”或“错误”） 7. 长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为______． 8. 如图，在四面体中，是中点，是的中点，若，则乘积______． 9. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为______． 10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为______. 11. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法： ①水部分始终呈棱柱状； ②水面四边形的面积不改变； ③棱始终与水面平行； ④当时，是定值． 其中正确说法是__________． 12. 若正方体棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列命题中不正确的是 A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则 D. ，与，所成的角相等，则 14. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. 如图，正方体棱长为1，E，F分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点M，N，设，给出下列三个结论：①四边形一定为菱形；②若四边形的面积为，，则有最大值；③若四棱锥的体积为，，则为常值函数.其中正确结论有多少个?（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（共46分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分！ 17. 如图，在四棱锥中，底面正方形，平面，M为PC中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，P为AS的中点，Q是半圆弧的中点，且，． （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）在该圆锥侧面上，求从P到Q的最短路径的长度． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，． （1）求证：平面； （2）试在棱PB上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为； （3）H是PB中点，求二面角大小的余弦值． 20. 定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，. （1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： （2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.   上海延安中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023．11 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，共42分） 1. 在正方体中，，则直线到平面的距离为______． 【答案】2 【分析】根据已知先得出平面.然后求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】根据正方体的性质可知，. 又平面，平面， 所以，平面. 所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离. 又平面，所以点A到平面的距离即为. 所以，直线到平面的距离为2. 故答案为：2. 2. 圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为______． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图