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双曲型谱风险度量和后验检验和投资组合优化模型 风险行为的研究 风险价值（var）自诞生以来已成为一种广泛使用的金融风险衡量基金。然而,Artzner等的研究表明,VaR在理论及实际应用中存在一定的缺陷,例如,VaR不满足一致性风险度量的次可加性。为了克服VaR的不足,Uryasev提出条件风险价值(CVaR)的概念,它具有VaR的优点,同时在理论上有良好的性质,如可满足次可加性。但CVaR不能反映投资者对风险厌恶的态度,为此Acerbi等提出了谱风险度量,并指出谱风险度量是一致性风险度量,能够反映不同投资者对风险的厌恶程度。阿罗和普拉特提出了绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量,从而建立了风险谱函数与效用函数的桥梁。Adam等和王新宇对前人的工作做了一个综述和拓展,并详细研究失真风险度量和谱风险度量,提出投资组合的谱风险度量的离散形式。Cotter等提出基于极值理论的谱风险度量,将广义帕累托分布应用到谱风险度量中,得到指数型风险谱函数生成的谱风险度量。李小平等提出风险资产组合的均值-M有效前沿及其实证分析。石媛昌等对金融风险度量方法的新进展进行了研究。 在前人的基础上,本文结合风险厌恶度量有关知识得到3种风险谱函数,特别给出了双曲型风险谱函数的定义,并将双曲型风险谱函数应用到投资组合优化中,对谱风险度量值进行了实证分析。 1 谱风险测定 1.1 元素p定义 定义1设函数?∈L([a,b]), 1)若?满足?I?[a,b]有,∫I?(p)dp≥0则称函数?是正的; 2)若对?q?[a,b],?ε>0使得 ∫qq-εqq?ε?(p)dp≥∫q+εqq+εq?(p)dp 则称函数?是递减的; 3)函数?的范数为 ‖?‖=∫baba|?(p)|dp 定义2L()中的任意元素?(p)是正的,递减的且满足范数为1,则称?(p)是容许的。 定义3设投资者持有的金融资产或投资组合收益X有积累分布函数FX(x) M?(X)=-∫1010F-1X?1X(p)?(p)dp(1) 其中?(p)是容许的,则称M?(X)是由?(p)生成的谱风险度量(SRM),?(p)称为风险谱函数或风险厌恶函数。 命题1若?(p)是容许的,则式(1)所表示的谱风险度量M?(X)是一致性风险度量。证明见文献。 设随机变量X表示资产收益,当X<0时,表示资产的损失,这是真正意义上的金融风险。所以风险度量关注的是X分布的左尾。事实上,式(1)的风险谱函数?(p),可视为加权函数。任何一个理性的投资者都可以通过风险谱函数?(p)来表达他们主观上对金融风险厌恶的态度。 1.2 风险厌恶量和风险谱函数 1.2.1 绝对风险嘴唇效用函数 假定所有投资者都是风险厌恶的,然而,每个人风险厌恶的程度可能不尽一致,因此需要对风险厌恶程度给出一个度量。 作为表示投资者偏好的数学表达式—效用函数,其二阶导数可以用来刻画投资者对风险的态度,但是,效用函数的二阶导数在仿射变换下,不是一个不变量。为了比较不同的的投资者对金融风险厌恶的程度,阿罗和普拉特建议风险厌恶程度用式(2)～(3)来衡量。 RA(x)=-u″(x)u′(x)(2)RR(x)=-xu″(x)u′(x)(3)RA(x)=?u′′(x)u′(x)(2)RR(x)=?xu′′(x)u′(x)(3) 其中RA(x)为(阿罗- 普拉特)绝对风险厌恶度量。RR(x)为相对风险厌恶度量,u(x)为效用函数。 双曲型绝对风险厌恶(HARA)族的效用函数可表作 u(x)=1-γγu(x)=1?γγax1-γ+bax1?γ+bγb>0 (4) 其中γ为风险厌恶因子。其绝对风险厌恶度量为 RA(x)=-u″(x)u′(x)=1x1-γ+ba(5)RA(x)=?u′′(x)u′(x)=1x1?γ+ba(5) 由式(4)可得几种常用的效用函数。 (1) 由于limγ→1u(x)=axlimγ→1u(x)=ax,所以定义当γ=1时,u(x)=ax,这是线性效用函数,适用于风险中性者; (2) 当γ=2时,u(x)=-a2x2+abx-b22u(x)=?a2x2+abx?b22,这是平方效用函数,适用于风险厌恶者; (3) 由于当b=1时,limγ→+∞u(x)=-e-axlimγ→+∞u(x)=?e?ax,所以定义u(x)=-e-ax,这是负指数效用函数,适用于风险厌恶者; (4) 当γ<1,b=0时,效用函数u(x)=(1-γ)1-γγaγxγu(x)=(1?γ)1?γγaγxγ,这是幂效用函数; (5) 当γ→0,b=0时,定义u(x)=lnx,这是对数效用函数。 由式(2)～(3)可得基于上述不同效用函数的绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量。 1.2.2 双曲型风险谱函数 风险谱函数?(p)是谱风险度量的重要组成部分,?(p)的容许性,使得谱风