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一种多相分割的变分水平集模型 分段常值和分段滑动的多相图像分割 随着图像分段研究的深入，多相图像分辨率在数据处理、计算机视觉等领域引起了研究人员的注意。由于这类分割任务处理的对象复杂且需要综合多种分割因素,使得具有较好模型集成能力并具有拓扑自适应能力的变分水平集方法成为多相图像分割的有力工具。 变分水平集方法最初由Zhao,Chan,Merriman and Oshe针对复杂界面演化提出的建模方法。Chan and Vese基于变分水平集和简化的Mumford-Shah模型提出分段常值两相图像分割的Chan-Vese模型,Vese and Chan采用N个水平集函数划分2N个区域,将推广到分段常值和分段光滑的多相图像分割。Samson,Blanc-Feraud,Aubert则直接将的区域划分策略应用于多相图像分类,采用n个水平集函数表达n个相,但必须在能量泛函中增加避免区域重叠和漏分的惩罚项。Lie,Lysaker,Tai采用离散水平集函数设计了两个分段常值图像多相分割的变分水平集模型:其一使用取值为1和-1的二值型水平集函数,其二采用取n个离散常值的水平集函数。Chung and Vese则提出了用1个连续的水平集函数划分多个区域的分层表达的分段常值图像分割的变分水平集模型。 Vese and Chan的方案采用较少的水平集函数,所得到的区域划分表达式具有对称性,且无重叠和漏分问题,在图像分割等领域得到受到了重视,但针对分段常值和分段光滑的灰度图像,且未给出区域划分的统一表达式。本文在的基础上进行拓展研究。首先,本文的区域模型采用含参数的一般概率分布模型,并可方便的用于符合Gauss噪声分布、Rayleigh噪声分布、Poisson噪声分布、Gamma噪声分布的图像分割。对于区域划分的水平集函数表达,本文基于区域编号的自然数的二进制表达,提出了区域划分特征函数的通用表达式,建立了水平集函数与划分区域的一一对应关系。此外,为了克服传统水平集函数需要不断重新初始化的问题,本文在能量泛函中增加了水平集函数为符号距离函数的惩罚项。 文章结构安排如下:第一部分为两相图像分割的变分水平集方法基础,第二部分介绍了本文提出的多相图像分割的变分水平集模型,第三部分为演化方程的半隐式差分格式,第四部分为数值算例,最后一部分为总结。 1 变分水平集函数 设要分割的灰度图像的图像强度为u(x,y):Ω→R,其中,Ω为图像区域,以后用表示图像边界。两相图像分割的任务是用水平集函数Φ(x,y)的零水平集Γ(t)将Ω划分为互不重叠的两个区域,R1,R2,其中一个为前景,一个为背景。即Ω=R1∪R2,R1∩R2=0,假设水平集函数为 通常Φ(x,y)被定义为符号距离函数,即满足如下Eikonal方程。 (2)式的唯一粘性解为如下方程的稳态解 在变分水平集方法中,为表达区域划分,引入如下Heaviside函数和Dirac函数 其中,(5)为分布意义下的导数。为了数值计算,通常采用(4),(5)的规则化表达。引进上述函数后,零水平集所包围的面积及零水平集的长度可表达为 与(6)式对应的测地长度为 从而可由以下能量泛函的极小值问题得到经典的基于边缘的图像分割测地轮廓线模型。 其中,g(|▽u|)为图像边缘检测函数。 经典的基于区域的两相分段常值图像分割的变分水平集模型为Chan-Vese模型,该模型应用如下能量泛函 其中,u1,u2为零水平集内外区域的平均图像强度。 Paragios提出的基于边缘和区域的测地主动区域模型基于如下能量泛函 其中, Qi=-lnPi,i=1,2 (12)Pi=Pi(u,θi)为参数化概率分布函数。 2 n个区域分割的能量泛函 Vese,Chan针对分段常值和分段光滑的图像提出了用N个水平集函数划分2N个区域的多相图像分割的变分水平集模型。以下用Φ={Φ1,Φ2,…ΦN}表示水平集函数的集合,用R1,R2…R2N表示分割的区域,则对于2N个区域,用i=1,2,…,2N表示区域编号。对第i个区域,自然数i-1的二进制数可表达为为0或1。基于该关系,可定义第i个区域的特征函数为 基于该定义,本文将能量泛函(11)推广得到2N个区域分割的能量泛函如下 其中,上式最后一项源于式(2),该惩罚项约束水平集函数为符号距离函数。 由(Φ,θ)通过变分方法得到如下水平集函数的演化方程(l=1,2,…N) 相应的自然边界条件和初始条件为 对符合Gauss噪声分布的图像 对符合Rayleigh噪声分布的图像 对符合Gamma噪声分布的图像 3 半隐式差分格式 为表达简洁,本节将(18)式改写为如下形式 以下参考Chan and Vese的半隐式差分格式设计(25)式的半隐式差分格式。设hi为空间步长,Δt为时间步长,(xi,yj)=(ih,jh),1≤