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三维自由面三维流动的半隐式有限差分模拟 非压缩水体的navier-stokes方程对大多数自由面流动问题有效。在实际水域中，流动的三维特征是明显的。特别是在密度分层的水体中，许多科学家和专家研究了静水压强假设下的三维水平方程的数值解。这主要是因为该模型在精细模拟区域的非定标准运动中的计算成本较低，对pc机的要求较低。随着计算机性能的提高，计算量的限制并不严格。首先，本文介绍了基于非静水压强假设的三维nic模型。在三维计算域平面上使用四边形网格，并在垂直方向上使用分层网格进行横截面。该算法的计算模型增加了压力修正方程的求解，离散采用半隐藏有限差分解的形式。这种格式使用动态方程对网格的各个部分进行有限差分色散，水位方程对网格的每个单元进行有限体积色散。然后，一些典型的计算示例被用来证明该模型中描述的格式的有效性和实用性。 1 自由面和边界条件 对于不可压缩流体的x,y,z方向的动量方程描述如下: ?u?t+u?u?x+v?u?y+w?u?z=-?p?x+λ(?2u?x2+?2u?y2+?2u?z2)(1) ?v?t+u?v?x+v?v?y+w?v?z=-?p?y+λ(?2v?x2+?2v?y2+?2v?z2)(2) ?w?t+u?w?x+v?w?y+w?w?z=-?p?z+λ(?2w?x2+?2w?y2+?2w?z2)-g(3) 式中:u(x,y,z),v(x,y,z)和w(x,y,z)分别为水平x,y方向和垂直z方向上的流速;t为时间;g为重力加速度;λ为水流的运动涡粘性系数,即流体的紊动涡粘性系数,可以通过k-ε双方程模型求出紊动动能k和紊动特征长度l来获得;p(x,y,z,t)为流体微元体上的压力. 质量守恒方程即连续性方程为: ?u?x+?v?y+?w?z=0(4) 利用运动学条件在水深方向上对连续性方程(4)进行积分,同时也利用分步积分公式可以得到下面的自由面方程: ?η?t+??x[η∫-hudz]+??y[η∫-hvdz]=0(5) 式中:h(x,y)为静水深;η(x,y,t)为相对于静水面的自由面的升高值;H(x,y,t)=h(x,y)+η(x,y,t)代表总水深.压强p(x,y,z,t)在方程(1)～(3)里可以分成静压和非静压两部分.即: p(x?y?z?t)=g[η(x?y?t)-z]+q(x?y?z?t)(6) 式中:q(x,y,z,t)表示非静水压强组成部分.将p(x,y,z,t)代入动量方程组(1)～(3)中,可得: ?u?t+u?u?x+v?u?y+w?u?z=-g?η?x-?q?x+λ(?2u?x2+?2u?y2+?2u?z2)(7)?v?t+u?v?x+v?v?y+w?v?z=-g?η?y-?q?y+λ(?2v?x2+?2v?y2+?2v?z2)(8)?w?t+u?w?x+v?w?y+w?w?z=-?q?z+λ(?2w?x2+?2w?y2+?2w?z2)(?η?z=0)(9) 对于一个定解问题,除了知道泛定方程还要给定边界条件.自由面上的边界条件可近似通过风应力来描述: λ?u?z=γΤ(ua-u)?λ?v?z=γΤ(va-v)?z=η(10) 式中:γT为非负的风应力系数;ua,va为风速在x,y方向的分量. 在基底则通过底摩阻来确定: λ?u?z=γBu?λ?v?z=γBv?z=-h(11) 式中:γB为非负的底摩阻系数,可通过湍流边界层假设而求得. 2 采用半隐藏有限差分法的近似值色散 2.1 计算域和边界条件 计算中,新时间步上的流速和自由面升高分别用?u,?v,?w,?η来表示.动量方程(7)～(9)的半隐式离散格式如下: ?un+1i+1/2?j?k=Funi+1/2?j?k-(1-θ)ΔtΔx[g(ηni+1?j-ηni?j)+qni+1?j?k-qni?j?k]-θgΔtΔx(?ηn+1i+1?j-?ηn+1i?j)+λΔt?un+1i+1/2?j?k+1-?un+1i+1/2?j?kΔzni+1/2?j?k+1/2-?un+1i+1/2?j?k-?un+1i+1/2?j?k-1Δzni+1/2?j?k-1/2Δzni+1/2?j?k(12)?vn+1i?j+1/2?k=Fvni?j+1/2?k-(1-θ)ΔtΔy[g(ηni,j+1-ηni?j)+qni,j+1?k-qni?j?k]-θgΔtΔy(?ηn+1i,j+1-?ηn+1i?j)+λΔt?vn+1i,j+1/2?k+1-?vn+1i,j+1/2?kΔzni,j+1/2?k+1/2-?vn+1i,j+1/2?k-?vn+1i,j+1/2?k-1Δzni,j+1/2?k-1/2Δzni,j+1/2?k(13)?wn+1i?j?k+1/2=Fwni?j?k+1/2-(1-θ)ΔtΔzni?j?k+1/2(qni?j?k+1-