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io随机微分方程的半隐式随机rk方法 1. 关于yt0.2.3.2回归系数的求解 近年来，随机熟练外程在金融、生物、物理、微电子、机械等科学和工程领域得到了广泛应用。然而，除了一些线性方程外，一般随机微分方程很难获得理论解，因此有效的数值算法在解决问题过程中的数值接近尤为重要。 本文考虑下面的It?随机微分方程 {dy(t)=f(y(t))dt+g(y(t))dW(t),t∈[t0,Τ],y(t)∈Rd,y(t0)=y0.(1){dy(t)=f(y(t))dt+g(y(t))dW(t),t∈[t0,T],y(t)∈Rd,y(t0)=y0.(1) 为求解(1),Kloeden和Platen在中构造了一大类随机Taylor方法,如Euler,Milstein方法.但此类方法,尤其是高阶的一般需要求高阶导数,比较复杂.为避免求导数,他们也考虑用差分来近似导数,从而得到了一大类导数自由方案.1991年,Newton在Rümelin工作的基础上经过大量的计算构造了两个强1阶显式RK方法(“FRKI”、“ERKI”),后来Burrage,Tian等人应用彩色根树理论得到了Stratonovich型随机微分方程的RK方法,但此类方程解过程不是Markov的,在应用中存在一些困难.R?ssler和Komori则针对随机微分方程的弱解得到了非常一般的弱Runge-Kutta方法. 本文将针对It?随机微分方程的强解,应用和发展彩色树理论构造两类1阶的半隐式随机RK方法.并分析了其均方稳定性,最后数值实验显示了方法的有效性. 2. 多重ito随机积分 1997年,Komori发展了Butcher的根树思想,提出了针对随机微分方程的彩色树理论.彩色树主要是考虑了方程确定性项与随机项的差别,引入两种类型的点:τ=·表示确定性的点:σ=。表示随机性的点.进一步,若t1,…,tm为彩色树,则[t1,…,tm]和{t1,…,tm}分别表示所有子树t1,…,tm均通过一树枝与根·或。相连得到的新的彩色树,详情参见. 若令d(t)表示树t中确定性点的个数,s(t)表示树t中随机性点的个数,l(t)表示树t中所有点的个数,显然有l(t)=d(t)+s(t).另外,我们还可引入树的阶的概念,因[E(W(t+h)-W(t))2]12=h12[E(W(t+h)?W(t))2]12=h12,故若用ρ(t)表示一个彩色树的阶,则 ρ(t)=d(t)+12s(t).ρ(t)=d(t)+12s(t). 与确定性的树类似,可以定义彩色树的基本微分如下: F(?)(y)=y,F(τ)(y)=f(y),F(σ)(y)=g(y),F(t)(y)=f(m)(y)[F(t1)(y),?,F(tm)(y)],t=[t1,?,tm],F(t)(y)=g(m)(y)[F(t1)(y),?,F(tm)(y)],t={t1,?,tm},F(?)(y)=y,F(τ)(y)=f(y),F(σ)(y)=g(y),F(t)(y)=f(m)(y)[F(t1)(y),?,F(tm)(y)],t=[t1,?,tm],F(t)(y)=g(m)(y)[F(t1)(y),?,F(tm)(y)],t={t1,?,tm}, 其中,?表示阶为0的树. 定义下列算子 L0=??t+f??y+12g2?2?y2,L1=g??y.L0=??t+f??y+12g2?2?y2,L1=g??y. 进一步,定义下列多重It?随机积分 Ι(j1,j2,?,jl),t=∫t0∫s10?∫sl-10dWj1sldWj2sl-1?dWjls1,(2)I(j1,j2,?,jl),t=∫t0∫s10?∫sl?10dWj1sldWj2sl?1?dWjls1,(2) 其中,ji∈{0,1},dW0si0si≡dsi.则由中It?-Taylor展式,方程(1)的解y(t)在t0处可展开为 y(t0+h)=y0+L0y0Ι0+L1y0Ι1+L1L1y0Ι11+L1L0y0Ι10+L0L1y0Ι01+L1L1L1y0Ι111+?=y0+fΙ0+gΙ1+g′gΙ11+gf′Ι10+(fg′+12g2g′′)Ι01+g((g′)2+gg′′)Ι111+?.(3) 由彩色树及对应基本微分的定义,(3)可写为 y(t0+h)=F(?)(y0)+F(?)(y0)Ι0+F(?)(y0)Ι1+F({?})(y0)Ι11+F([?])(y0)Ι10+[F({?})+12F({?,?})](y0)Ι01+[F({0})+F({?,?})](y0)Ι111+?=F(?)(y0)+F(?)(y0)Ι0+F(?)(y0)Ι1+F({?})(y0)Ι11+F([?])(y0)Ι10+F({?})(y0)Ι01+F({0})(y0)Ι111+F({?,?})(y0)(12Ι01+Ι1