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高等代数习题及答案 ： 篇一：高等代数试题及答案 中国海洋大学 2007-2008 学年 第 2 学期 期末考试试卷 共 2 页 第 2 页 五 (10分 )证明：设 A 为 n 级矩阵 ,g(x)是矩阵 A 的最小多项式 ,则多 项式 f(x)以 A 为根的充要条件是 g(x)|f(x). 六 (10分 )设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间 ,A,B是 V 上的线性变换， 且 AB?BA.证明 :B的值域与核都是 A 的不变子空间 . ?a ??? 七 (10分 )设 2n 阶矩阵 A?? ????b ? ab? ba ?? b???? ?,a?b,求 A 的最小多项式 . ???a? 八 (10分 )设 f是数域 P上线性空间 V上的线性变换 ,多项式 p?x?,q?x? 互素 ,且满足 p?f?q?f ??0(零变换 ) ??,S ?ker?q?f 求证： V?W?S,W?ker?p?f?? 中国海洋大学 2007-2008 学年 第 2学期 期末考试 学院 (A 卷 )答案 一 .判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二 .解： ?1?A=?1 ?1??1 1111 1111 1??1?1??1? 3 ，｜ ?E?A|??(??4)，所以特征值为 0， 4（ 3 重） . 将特征值代入，求解线性方程组 (?E?A)x?0，得 4 个线性无关的特征 向量（答案可以不唯一） ，再正交单位化，得 4 个单位正交向量： ?1＝ ( 12,12,112,2) ， ?2＝ (-0,0) ， ?3＝ (- ? 0) ， ?4＝ (- 6 ? 6 ? 6 2 . ??1 ? ?