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牛头刨床机构可靠性优化设计的数值计算 0 机构运动不确定性分析与设计 在组织运动分析和设计（综合）研究方面取得了丰富的成果。所不足的是在传统的机构分析和设计过程中,研究者通常采用确定性模型。而现实中,因工程材料特性的变异以及制造、安装误差等因素的影响,机构结构参数具有不确定性;此外,由于受到各种偶然因素和环境的影响,机构所承受的荷载也不可避免地具有不确定性。上述因素对机构运动特性有着不可忽略的影响,因此在分析和设计机构时必须充分考虑这些不确定因素对机构运动精度的影响。 目前,对机构运动不确定性的分析与设计已进行了不少研究。文献在机构运动学的范畴内,分别探讨了运动副间隙对机构运动输出精度的影响;文献在假定设计变量和设计参数分布概率服从某一特定分布的前提下,建立了机构运动精度可靠性分析模型;文献对机构运动精度可靠性优化设计进行了初步探索;文献在机构优化设计模型中加入了稳健性要求。 由于机构承受荷载的复杂性,很难具体描述其概率特性,故以往的研究者多假设机构运动输入为无误差的匀速运动,忽略了由机构所承受荷载的不确定性所造成的运动输入参数的不确定性,及其对机构运动精度的影响。本文综合考虑机构结构件的制造加工误差和机构输入误差的随机性,采用Edgeworth级数方法及相应的经验修正公式和约束随机方法,针对牛头刨主运动机构,讨论不完全概率情况下机构运动精度可靠性优化设计问题,发展机构运动不确定性分析与设计理论。 1 运动方程及灵敏度分析 设机构输入、输出关系可由如下一组独立的运动方程描述: F(U,V,L)=0 (1) 式中,F=[f1f2…fn]T;U为n个机构输出参数的向量,U=[u1u2…un]T;V为m个机构输入参数的向量,V=[v1v2…vm]T;L为s个机构结构件参数的向量,L=[l1l2…ls]T。 通过式(1)即可解出输入、输出运动关系如下: U=U(V,L) (2) 采用矩阵法对机构运动精度进行分析,在时刻t将式(1)在各随机变量均值处一阶Taylor展开: ?F?UΤΔU+?F?VΤΔV+?F?LΤΔL=0(3)?F?UTΔU+?F?VTΔV+?F?LTΔL=0(3) 式中,?F/?UT、?F/?VT和?F/?LT为雅可比矩阵,矩阵中各元素在各随机变量均值处取值。 由(3)式可解得 ΔU=-[?F?UΤ]-1(?F?VΤΔV+?F?LΤΔL)(4)ΔU=?[?F?UT]?1(?F?VTΔV+?F?LTΔL)(4) 令 A=-[?F?UΤ]-1[?F?VΤ?F?LΤ]A=?[?F?UT]?1[?F?VT?F?LT] ΔX=[Δv1Δv2… ΔvmΔl1Δl2… Δls]T 式中,A为敏度系数矩阵;ΔX为基本参数向量X的误差向量,X=[v1v2…vml1l2…ls]T。 则 ΔU=AΔX(5) 2 运动精度的可靠性问题 图1所示的牛头刨床主运动机构由导杆滑块机构组成。工作时,电动机经带和齿轮传动,带动曲柄1以一定的角速度匀速旋转,通过滑块A使导杆2绕O2点左右摆动,并通过滑块B带动滑枕作往复直线运动,以实现刨刀C的工作行程和空行程两个过程,从而完成切削工作。 在图1所示牛头刨床主运动机构中,运动输出参数向量为:U=[xCα2lO2A]T,输入参数为:V=[α1],结构参数(设计参数)向量为:L=[l1l2l3l4]T。采用右手定则,角度的逆时针方向为正,且矢量角度总是在其根部而非头部度量,可建立平面四杆机构输入与输出关系的均值模型: F=[xC-l2cosα2l1cosα1-lΟ2Acosα2l1sinα1+l3-lΟ2Asinα2](6)F=?????xC?l2cosα2l1cosα1?lO2Acosα2l1sinα1+l3?lO2Asinα2?????(6) 由该均值模型即可求得有关雅可比矩阵,进而可求出该机构的运动输出误差ΔU=[ΔxCΔα2ΔlO2A]T。 为了保证牛头刨床具有较高的加工精度,必须使刨刀的运动误差ΔxC保持在允许范围内。即 -ε≤ΔxC≤ε(7) 式中,ε为允许输出位置误差。 因此,平面连杆机构运动精度的可靠性问题应分为两部分进行讨论,即满足下限-ε≤ΔxC的可靠度RL和满足上限ΔxC≤ε的可靠度RU,则该机构的运动精度可靠度为 R=RL+RU-1(8) 为了简化叙述过程,这里仅讨论运动精度满足上限ΔxC≤ε时的可靠性问题,以相同的方法可以求得运动精度满足下限-ε≤ΔxC的可靠度。 对应于输出分量xC的可靠度可以定义为 R=∫g(δ,r)>0f(Z)dZ(9) 其中,f(Z)为机构运动输出误差允许值δ(δ=ε)和输出误差r(r=ΔxC)的联合概率密度函数,g(δ,r)为状态函数,可表示为机构的两种状态: g(δ,r)≤0为失败状态g(δ,r)>0为安全状态}(10)g(δ,r)≤