蒙特卡罗方法(Monte Carlo simulation) - Read.PPT.pptx

实验数据处理方法 第二部分： Monte Carlo模拟 第七章 均匀分布随机数的产生 • 随机数的定义和特性 • 随机数的产生 • 线性乘同余方法 第七章 均匀分布随机数的产生 7. 1 随机数的定义和特性 7. 1 随机数的定义和特性 什么是随机数？ ➢单个的数字不是随机数 ➢ 是指一个数列 ， 其中的每一个体称为随机数 ， 其值与数列中 的其它数无关； ➢在一个均匀分布的随机数中 ， 每一个体出现的概率是均等的 · 例如： 在[0, 1]区间上均匀分布的随机数序列中 ， 0.00001与0.5出现的机会均等 7. 1 随机数的定义和特性 随机数应具有的基本特性 ➢ 考虑一个对高能粒子反应过程的模拟： 需用随机数确定： · 出射粒子的属性： 能量 、方向 、 … ·粒子与介质的相互作用 ➢ 对这一过程的模拟应满足以下要求（相空间产生过程）： · 出射粒子的属性应是互不相关的 ， 即每一粒子的属 性的确定独立于其它的粒子的属性的确定； · 粒子的属性的分布应满足物理所要求的理论分布； ➢所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性： · 随机数序列应是独立的 、互不相关的(uncorrelated) 即序列中的任一子序列应与其它的子序列无关； 7. 1 随机数的定义和特性 ·长的周期 (long period)： 实际应用中 ， 随机数都是用数学方法计算出来的 ， 这些 算法具有周期性 ， 即当序列达到一定长度后会重复； ·均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)： 随机数序列应是均匀的 、无偏的 ， 即： 如果两个子区间 的“面积 ”相等 ， 则落于这两个子区间内的随机数的个 数应相等。 例如： 对[0, 1)区间均匀分布的随机数 ， 如果产生 了足够多的随机数 ， 而有一半的随机数落 于区间[0,0. 1] 不满足均匀性 如果均匀性不满足 ， 则会出现序列中的多组随机数相 关的情况 均匀性与互不相关的特性是有联系的 7. 1 随机数的定义和特性 ·有效性（Efficiency) : 模拟结果可靠 模拟产生的样本容量大 所需的随机数的数量大 随机数的产生必须快速 、有效 ， 最好能 够进行并行计算。 第七章 均匀分布随机数的产生 7.2 随机数的产生 7.2 随机数的产生 • [0, 1]区间上均匀分布的随机数是Monte Carlo模拟的基础 : 服从任意分布的随机数序列可以用[0, 1]区间均匀分布的 随机数序列作适当的变换或舍选后求得 • [0, 1]均匀分布的随机数的产生方法： ➢ 利用一些具有内在的随机性的过程： √放射性衰变过程（ radioactive decay)； √热噪声 (thermal noise) ; √宇宙线的到达时间（ cosmic ray arrival) ; √ … 缺点： 模拟的结果不可再现 ， 使得模拟程序的找错困难 ➢利用事先制订好的随机数表 : 缺点： 表的容量有限 ， 不适合需要大量随机数的应用 其中： T为某个函数 ， 给定初值r1,r2,…,rk,可按上式 定rn+1, n=1,2,… 随机数序列. 算法： 产生[0 ， M]区间上的整数In ， 然后利用公式 rn= In/M返回[0, 1]区间上的实数 优点： – 占用计算机的内存少； – 产生速度快； – 可以重复前次的模拟结果 ， 便于程序的找错； 7.2 随机数的产生 ➢ 利用数学递推公式在计算机中产生随机数 7.2 随机数的产生 缺点： • 不满足随机数之间相互独立的要求： 公式和初值确定 后 ， 序列就唯一地确定了； • 不满足均匀性： 计算机能表示的[0, 1]区间内的数是有 的（ 由字长确定） 递推到一定次数后 ， 出现周期性的重复现象 伪随机数（Pseudo-Random Number) 第七章 均匀分布随机数的产生 7.3 线性乘同余方法 （ Linear Congruential Method) In4 1= (aln+c)modm 其中： I0 ： 初始值（种子seed) a： 乘法器 （ multiplier) c： 增值（ additive constant) m： 模数（ modulus) mod： 取模运算： (aIn+c)除以m后的余数 7.3 线性乘同余方法 （ Linear Congruential Method) 1948年由Lehmer提出的一种产生伪随机数的方法 ， 是最常用的方 1 、递推公式： a, c和m皆为整数 产生整型的随机数序列, 随机性来源于取模运算 如果c=0 乘同余法： 速度更快 ， 也可产生长的随机数序列 3 、特点