二次函数函数的存在性问题(相似三角形).doc

二次函数函数的存在性问题（相似三角形） 1、（09贵州安顺）如图，已知抛物线与 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与 轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式；? （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 2、（09青海）矩形 在平面直角坐标系中位置如图所示， 两点的坐标分别为 ， ， 直线 与 边相交于 点． （1）求点 的坐标； （2）若抛物线 经过点 ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线 交于点 ，点 为对称轴上一动点，以 为顶点的三角形与 相似，求符合条件的点 的坐标． 3、（09广西钦州）如图，已知抛物线y＝ x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）过点C的直线y＝ x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t， 且0＜t＜1． （1）填空：点C的坐标是_? _，b＝? ? _，c＝_? ? _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）； （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值； 若不存在，说明理由． 4、（09福建莆田）已知，如图1，过点 作平行于 轴的直线 ，抛物线 上的两点 的横坐标分别为 1和4，直线 交 轴于点 ，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为点 、 ，连接 ． （1）求点 的坐标； （2）求证： ； （3）点 是抛物线 对称轴右侧图象上的一动点，过点 作 交 轴于点 ，是否存在点 使得 与 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、（09山东临沂）如图，抛物线经过 三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作 轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 的面积最大，求出点D的坐标． 6、（09牡丹江）如图， 在平面直角坐标系中， 若 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个根，且 （1）求 的值．? ? （2）若 为 轴上的点，且 求经过 、 两点的直线的解析式，并判断 与 是否相似？ （3）若点 在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点 使以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 1、（09贵州安顺） 解：（1） ∵抛物线与 轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为 ? ? (1′) 根据题意，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 ? ? (5′) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）? 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积= = = =9? ? ? ? ? ? （3）相似 如图，BD= ；∴BE= DE= ∴ , 即： ,所以 是直角三角形 ∴ ,且 ,? ∴ ∽ 2、（09青海）解：（1）点 的坐标为 ．（2）抛物线的表达式为 ．? ? P2 （3）抛物线的对称轴与 轴的交点 符合条件． ∵ ，? ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵抛物线的对称轴 ，? ∴点 的坐标为 ． 过点 作 的垂线交抛物线的对称轴于点 ． ∵对称轴平行于 轴， ∴ ． ∵ ， ∴ ∴点 也符合条件， ．? ∴ ， ∴ ．? ∴ ． ∵点 在第一象限，∴点 的坐标为 ， ∴符合条件的点 有两个，分别是 ， 3、（09广西钦州） 解：（1）（0，－3），b＝－ ，c＝－3． （2）由（1），得y＝ x2－ x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）． ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由题意，得△BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5 ， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5 ， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 由y＝ x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）． ∴OQ＝4t． ①当H在Q、B之间时， QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t． ②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4． 综合①，②得QH＝｜4－8t｜； （3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． ①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t， 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得 ＝ ， ∴t＝ ． 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得 ＝ ， 即t2＋2t－1＝0．∴t1＝ －1，t2＝－ －1（舍去）． ②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ， 得 ＝ ，∴t＝ ．若