第三讲、全等三角形.doc

全等三角形全章复习与巩固 【学习目标】1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3．熟练掌握角的平分线的性质和证明 【知识网络】 【知识精讲】 ? 一般三角形 直角三角形 判定 __________________________________________________ ? 性质 对应边________，对应角__________。 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 ? ? ? 一、全等三角形的判定与性质 二、全等三角形的证明思路 三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离____________.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离________。交点又称为三角形的_________. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5.? 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】 一、巧引辅助线构造全等三角形 1．作公共边可构造全等三角形： 例1、 如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD. 求证：∠B＝∠D. 2．倍长中线法? ? 例2、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC． 求证：CD＝2CE． 【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 【变式训练】已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 3．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 例3、（2016秋?诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC． 求证：∠PCB+∠BAP=180°． 【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点． 【变式训练】如图，AD是 的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD. (1)求证：∠B与∠AHD互补； (2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明. 4.利用截长(或补短)法作构造全等三角形 例4、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 例5、（新宾县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC． （1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长； （2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明； 【变式训练】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC 5.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 例6、（2016