高等数学-函数的极限PPT课件.pptxVIP

1复习使时，恒有3、收敛数列的有界性：收敛的数列必定有界.反之不一定成立：有界的数列不一定收敛.逆否命题成立：无界的数列一定发散.2、收敛数列的唯一性：收敛的数列的极限唯一.4、收敛数列的保号性及其推论5、收敛数列与其子数列的关系及推论. 函数极限的两种情形自变量趋于无穷大自变量趋于有限值2函数极限与数列极限的联系数列极限可看作函数f(n)当n→∞时的极限§1-3 函数的极限. 一、函数极限的定义3一、自变量趋向无穷大时函数的极限观察函数当时，当时，y =2. 4yxo当时，当时，. 5时函数的极限（单向极限）如果记为：或者记为：当时，则有：注意：该定义与数列极限的定义中的区别?X，?恒有定义：则A是时的极限.当使当时，. 6时函数的极限（单向极限）记为：或者记为：则有：当时，对于那么？那么？如果恒有定义：则A是的极限.当时时，使当x -X. 7记为：或者记为：则有：3、x→∞时函数f(x)的极限则A是的极限.当从定义中得到：包含了和所以：包含了和于是有不存在.如果恒有定义：定理：使当时，当时，. 8注意:证明极限存在时,关键是任意给定求X的方法：寻找X.由解出x当x-X或xX时，函数y=f(x)的图形完全落在以直线y=A为中心线，宽为的带形区域内.几何解释:. 9例1证水平渐近线.则. 10当 x→ x0时, 无限接近于A??其中 体现了 与 x0的接近程度二、自变量趋向有限值 时函数的极限. 111.自变量趋向有限值时函数的极限定义：定义：如果恒有（无论多么小），当时，记为：时的极限.那么常数A就叫函或者记为：总注意：当数(1)表示任意小；(2)表示的过程，是点的去心是体现x与x0的接近程度.邻域，的当时，. 12注意：使得当时，恒有成立. 函数极限与在点x0是否有定义无关.与任意给定的正数有关.是以任意方式，包括从x0的左边、或者从x0的两边同时接近于x0.从x0的右边、(3)(4)(5). 13函数极限的几何意义当时，函数f(x)的图形完全落在以直线y=A为中心线，形区域内.一个后，越小越好.A使得当时，恒有成立.宽为的带显然，找到. 14注意:证明极限存在时,关键是任意给定. 15例1证任给任取当时，成立，证明(C为常数)证取当 时，成立，例2证明. 16证取当时，成立，例3证明有分析要使只需. 17例4证明分析：注意：函数在处无定义，但这与函数在该点是否有极限并无关系.当时，要使只需取当有. 18例4证明证当时，有. 19单侧极限的定义左极限：右极限：记作：记作：使当时，恒有使当时，恒有. 20证不存在.则例7验证不存在.. 21发现：其中：表示x从0的左边接近0.其中：表示x从0的右边接近0.求观察当x0当x=0当x0xyo1-1不存在. 22解不存在. 。.例6 设求oxy112-1. 23解即xy1-1o例8 设求. 24二、函数极限的性质1.唯一性若 定理1：存在，则极限唯一.2.有界性定理2：若(或时函数f(x)的极限存在，则存在(或X0)使得f(x)在该邻域内(或内)有界.. 253. 保号性定理3:推论若且当时，(或则(或以正数(负数)为极限的函数在 附近是正的(负的). 261.时，f(x)的极限.定理：定理：2.时，f(x)的极限.包含了和两个极限过程.包含了和两个极限过程.说明：(1) 该定理常用于求分段函数在分界点的极限(2)实际上是 x 在x0 的某邻域内变化，的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.(即考察左右极限).函数极限小结函数f(x). 作业：p331；2;3;5 (1).27