专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训（解析版）.docx

专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训 【题型目录】 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简问题综合 题型训练： 绝对值中的10道最值问题训练 绝对值中的10道化简问题训练 绝对值最值问题概述： 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果. 绝对值化简问题概述： 绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题. 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)①负，正；②<，>；③，； (2)； (3)①或10；②当时，最小，最小值为7，理由见解析． 【分析】（1）根据数轴得：，结合绝对值的定义即可解答； （2）根据题意可得数轴上两点间的距离等于两点之差的绝对值，由此可解； （3）①根据数a到3的距离是7可得a的值；②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小，由此可解． 【详解】（1）①由数轴可得：， ∴， 即a是负数，是正数， 故答案为：负，正； ②，， 故答案为：<，>； ③∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为：， 故答案为：； （3）①∵， ∴， 解得：或10， 故答案为：或10； ②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·全国·七年级期末）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示15和的两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离可以表示为______（用绝对值符号表示）．如果，那么x是_______． (3)若式子，则___________ (4)式子的最小值是______． 【答案】(1)3；15；45； (2)；1或； (3)或3； (4)3 【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值计算即可； （2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可； （3）分三种情况：；；，分别根据绝对值的性质化简，进而求解即可； （4）根据代数式表示在数轴上到和2两点的距离的和，可知当x在和2之间时代数式取最小值，其最小值为与2的距离． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示15和的两点之间的距离是， 故答案为：3；15；45； （2）解：数轴上表示x和的两点A，B之间的距离可以表示为， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：；1或； （3）解：当时，， 解得， 当时，，无解， 当时，， 解得， ∴或3， 故答案为：或3； （4）解：代数式表示在数轴上到和2两点的距离的和， ∴当x在和2之间时，代数式取得最小值，最小值是和2之间的距离3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了解绝对值方程、数轴等知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 【变式2】（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）阅读下面的材料：