20152017数列全国卷高考真题教师版.docx

2015-20XX 年全国卷数列真题 1、（2015 全国 1 卷 17 题） S n 为数列{ a n }的前n 项和.已知a n ＞0， a2 ? a n n = 4S n ? 3. （Ⅰ）求{ a n }的通项公式； （Ⅱ）设b ? 1 ,求数列{ b }的前n 项和. n a a n n n?1 【答案】（Ⅰ） 2n ?1 （Ⅱ） 1 ? 1 【解析】 6 4n ? 6 试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{ a n }的递推公式，可以判断数 列{ a n }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{ a n }的通项公式；（Ⅱ）根据 （Ⅰ）数列{ b n }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和. 试题解析：（Ⅰ）当n ? 1 时， a2 ? 2a ? 4S ? 3 ? 4a +3 ，因为a ? 0 ，所以a =3， 当 n ? 2 时 ， 1 1 a2 ? a ? a2 ? a 1 1 n 1 = 4S ? 3 ? 4S ? 3 = 4a ， 即 n n n?1 n?1 n n?1 n (a ? a ) (a? a ?) 2，a?因( 为aa ? 0 ，) 所以a ? a =2， n ?1 n n ?1 n n? n n n n?1 所以数列{ a n }是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 所以a n = 2n ?1 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， b = 1 ? 1 ( 1 ? 1 ) ， n (2n ?1)(2n ? 3) 2 2n ?1 2n ? 3 所以数列{ b }前 n 项和为b ? b ? ? b = 1 [(1 ? 1) ? (1 ? 1 ) ? ? ( 1 ? 1 )] = n 1 ? 1 . 1 2 n 2 3 5 5 7 2n ?1 2n ? 3 6 4n ? 6 2、（2015 全国 2 卷 4 题）已知等比数列?a ?满足 a =3，a ? a ? a  =21，则a ?a ?a ? n 1 1 3 5 （ ） 3 5 7 A．21 B．42 C．63 D．84 【解析】设等比数列公比为q ，则a a q2 ? a q4 ? 21 ，又因为a ? 3 ，所以q4 ? q2 ? 6 ? 0， 解得q2 1 1 1 1 ? 2 ，所以a ? a ? a ? (a ? a ? a )q2 ? 42 ，故选B． 3 5 7 1 3 5 考点：等比数列通项公式和性质． 3、（2015 全国 2 卷 16 题）设 S 是数列?a ?的前 n 项和，且a n n 1 ． ? ?1，a n?1 ? S S ，则 S ? n n?1 n 【解析】由已知得 a n?1 ? S ? S n?1 n ? S n?1 S ，两边同时除以 S n S n?1 n 1 1 ?，得 ? S S n?1 n  ? ?1， 故数列 ? 1 ? 是以 ?1 为首项， ?1 为公差的等差数列，则 1 ? ?1? (n ? 1)? ?n ，所以 ? S ? S ? n ? n S ? ? 1 ． n n 考点：等差数列和递推关系． 4、（2016 全国 1 卷 3 题）已知等差数列?a n （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 ?前 9 项的和为 27, a 10  ? 8 ,则a 100  ? （） ?9a 试题分析：由已知, ? 36d ? 27 , 所以a ? ?1,d ? 1,a ? a ? 99d ? ?1? 99 ? 98, ?? 1 ? 故选 C. a ? 9d ? 8 1 1 100 1 考点：等差数列及其运算 5、（2016 全国 2 卷 15 题）设等比数列?a n  ?满足 a  +a =10,a +a 1 3 2  =5, 则 a a 4 1 2  …a 的最大值为． n 【答案】64  ?a ? 8 ?a ? a ? 10 ??a (1? q2 ) ? 10 ? 1 试题分析：设等比数列的公比为q ,由? 1 3 得, ? 1 ,解得? 1 .所以 2??a ? a ? 5 2 ? ? 2 4 ?a q(1? q2 ) ? 5 1 ??q ? a a a ? anq1?2? ?(n?1) ? 8n ? ( ) n(n?1) 2 ? 2?1 n2? 7 n ,于是当n ? 3 或4 时, a a a 取得最 122 21 2 n 1 1 2 n 1 2 2 2 大值26 ? 64 . 考点：等比数列及其应用 6、（2016 全国 2 卷 17 题）S n  为等差数列?a n  ?的前 n 项