八年级下册数学二次根式知识点.docx

PAGE PAGE 10 二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以 X≥-2 X＜5 的解集为-2≤x＜5。 ｛ 公共部分。如 3、 分式有意义的条件：分母≠0 4、 绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、 二次根式的概念 a一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 a ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 2 为 2，即“ 2 ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ”。如 5 可以写作 5 。 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 aa式子 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a≥0， a ≥0。其中 a≥0 是 有意 a a 义的前提条件。 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0 这一隐含条件。 a形如b （a≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 a 288 22如 2 可写成 ，但不能写成 2 8 8 2 2 如 2 可写成 ，但不能写成 2 3 3 3 6x2+1｜x｜练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） ； （2） -18 ； 6 x2+1 ｜x｜ x2+2x+1 x2+2x+1 （4） -8 ； （5） ； （6）3 ； （7） 1 1+2x（x＜- 2 ） 1+2x 二、当 x 取什么实数时，下列各式有意义？ 2-5x4x2 2-5x 4x2+4x+1 二、二次根式的性质： 二次根式的性 符号语言 文字语言 应用与拓展 注意 质 a （a≥0）的性质 a ≥0 （a≥0） — 个 非 负 数 的 算 术平 方 根 是非负数。 （1）二次根式的非负性（ a a≥0）应用较多，如： a+1 + ≥0， b-3 a （a≥0）的最 小值为 0。 =0，则 a+1=0，b-3=0，即 a= -1， b=3；又如 x-a + a-x ，则 x 的取 值范围是 x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。 （2）具有非负性的性质：①a2≥0； ②｜a｜≥0；③ a ≥0（a≥0）。 （3）若 a2+｜b｜+ c =0，则 a=0， b=0，c=0，即若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数分别等于 0。 — 个 非 负 逆用公式可以在实数 （ a ）（2 a≥0） （ a ）2 = a 数 的 算 术 正用公式：（ 5 ）2 =5；（ m2+1 ） 范围内分解因式，如 的性质 （a≥0） 平 方 根 的 2=m2+1；逆用公式：若 a≥0，则 a= 平 方 等 于 1 1 a2-5=a2- （ 5 ） 2 它本身。 （ a）2 如：2=（ 2）2， =（ ）2 2 2 =(a+ 5 )(a- 5 ) a2 a2 的性质 a2 = ｜ a ｜ =a（a≥0） — 个 数 的 平 方 的 算 （1）正用公式： （3-π2) 化简形如 a2 的式 或 a2 =｜a｜= - a（a＜0） 术 平 方 根等 于 这 个 值。 =｜3-π｜=3-π 1 公式：3 3 = （2）逆用 1 子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据  32×3  =3 a 的符号去掉绝对 值号。 35练习：计算（1）（ ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) 3 5 （-1 （- 1 8 ）2 （6） + （1≤x≤3） ax2-2x+1x2-6x+9 a x2-2x+1 x2-6x+9 a2 （ a ）2 a2 表示的意义不同 取值范围不同 表示非负数a 的算术平方根的平方 a≥0 表示 a2 的算术平方根 a 为任意实数 区 读法不同 读作“根号 a 的平方”或“ a 读作“根号 a2”或“a 的平方的算术平方根的平方” 的算术平方根” 被开方数不同 别 运算顺序不同 被开方数是a 先开放后平方 被开方数是 a2 先平方后开方 运算结果，运算 （ a ）2 =a，依据平方与开平 依据算术平方根的定义得到 依据不同作用不同 方互为逆运算得到 （ a ）2 = a（a≥0），正向运用可 a2 =｜a｜，正向运用可以将根号 化简二次根式，逆向运用可以将任意 内的非负因式取算术平方根移到根一个非负数写成一个数的平方的形 号外，逆用运用可以将根号外的非式 负因式平方后移到根号内 联 系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是非负数；③a≥0 时，（ a ）2= a2 三、代数式 用基本运算符号（基本运算