《复变函数与积分变换》§6.3 惟一决定分式线性映射的条件.pptx

§6.3 惟一决定分式线性映射的条件 三对对应点惟一决定分式线性映射一　一个分式线性映射形式上有四个参数，少有一个不为零，因此只需分子分母同除以这个参数，这样分式线性映射只依赖于三个独立常数．但四个参数中至定理6.9的点　　　　，在　平面上，任意给定三个相异在　平面上，也任意给定则存在三个相异的点　　　　　，惟一的分式线性映射将　分别映成　　　　　　． 的部分改为1即可．三对对应点惟一决定分式线性映射一证略．满足条件的分式线性映射为：若　 或　　　　　　中出现　 ，则在公式中将包含　 例如，若　　　，则上式变为：注 三对对应点惟一决定分式线性映射一例1求将　　　变到　　　的分式线性映射．解：由公式得化简得 三对对应点惟一决定分式线性映射一由定理可以看出，若在　平面及　平面的已知圆周　及　上，分别选不同的三点　　　及　　　　，　　　　的分式线性映射，就把圆周　映射为圆周　．则将依次映射为定理6.10扩充　平面上任何一个圆周　，性映射映射为扩充　平面上的任何一个圆周　．可以用一个分式线注本定理中的圆周包括直线． 三对对应点惟一决定分式线性映射一下面说明当分式线性映射将圆周　映成圆周　时，的外部．而　的内部中另一部分映成　设　　 为　内部的两点，分别映成，且　 在不可能将的内部中一部分映成　的内部，　外部，　在　内部． 三对对应点惟一决定分式线性映射一将　　 用线段连接，线段　　映射为圆弧　　　，则圆弧与　这样就有两个不同的点被映射为　点，一个在圆周 上，另一个在线段　　上，这样就与分式线性映射的一一对应性矛盾．交于 　， 三对对应点惟一决定分式线性映射一　　这样当分式线性映射将圆周　映成圆周　时，圆周　的内部在　内任取一点　 ，若　的像在　的内部，则　的内部就映反之，则　的内部就映射成　的外部．还可通过下面的方法来判断：上任取三点　　　 ，在圆周　映射为　上的三点在　上的绕向相同，若　　　 在　上的绕向与则　的内部就映射成　的内部，反之映射成或者映射为　的内部，或者映射为　的外部．射成　的内部；外部． 三对对应点惟一决定分式线性映射一例2圆心分别在　　与　　　，半径均为　 的两圆弧所围成的映射成什么区域？区域在解: 因此两圆弧映射成两条从原点出发的射线．三对对应点惟一决定分式线性映射一　平面上两圆弧交点为i和 ，映射将i映成　， 映射成0，如图 三对对应点惟一决定分式线性映射一两圆弧在 处夹角为　　，两圆弧与　轴正向夹角均为　　，由于 分别映射成 　，综上，阴影部分被映射为以下角形如图．区域． 三类重要的分式线性映射二由于分式线性映射的保圆性，因此它在处理边界为圆周的区域映射上起很大作用．下面介绍三类重要的分式线性映射：（1）上半平面映射成上半平面设分式线性映射将映射成 三类重要的分式线性映射二则该分式线性映射将　平面的实轴　　　　，保持同向．因此该映射将　平面实轴上三点实轴上三点　　　　　，即旋转角为0，则映射为　平面的实轴　　　　分别映射成　平面 三类重要的分式线性映射二由可解得均为实数，因此．由于 三类重要的分式线性映射二因此，当　　　　时，有　　　　．因此分式线性映射将　　　　映为的充分必要条件为均为实数，且． 三类重要的分式线性映射二例3求出将上半平面　　　　映射为上半平面　　　　，且将　　 映射成映射成的分解：设，由　　　　得由　　　　　得解得，因此式线性映射． 三类重要的分式线性映射二例4求出将上半平面　　　　映射为上半平面　　　　，且将　　　依次映射为　　　的分式线性映射．解：设，由　　　　 得由　　　　 得　　　，即由　　　　 得 　　　 ，即因此，且满足　　　　为实数，．本题也可用定理6.9解，略． 三类重要的分式线性映射二（2）上半平面映射成单位圆由分式线性映射的保圆性知，映射为单位圆的圆周　　　．该映射必将实轴　　　　 三类重要的分式线性映射二由于上半平面的某一点　　　映射为圆心　，根据分式线性映　得 关于实轴的对称点　映射为　关于单位圆的对称点 　，因此所求的分式线性映射具有下列形式：当　取实数时，　　　，因此射的保对称性， 三类重要的分式线性映射二因此可取　　　，则所求分式线性映射的一般形式为：反之，上面的分式线性映射必将上半平面映射为单位圆的内部．该映射中　可以任意取值，如要确定　，还需附加条件，通常是指定实轴与单位圆上的一组对应点，或在　处的旋注．转角 三类重要的分式线性映射二例5求一分式线性映射，将上半平面映射成单位圆内部，，且(1) 点　 映射成　　　；(2) 　　　　 ．解：由条件 (1) 可设 三类重要的分式线性映射二由条件 (2) 可得即因此 三类重要的分式线性映射二例6求