2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形.docx

PAGE PAGE 10 / 29 2019 年中考数学专题复习 第十九讲 解直角三角形 【基础知识回顾】 一、 锐角三角函数定义： 在 Rt△ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为 cosA= ∠ A 的正切：tanA= ，它们统称为∠A 的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比， 没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 α300sinαcosαtanα4506002、取值范围 sinA ， cosA α 300 sinα cosα tanα 450 600 【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算 出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆 2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 sin A 3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=（ ） ⑵若∠A+∠B=900，则 sinA= ，tanA.tanB= 】三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt∠ABC 中，∠C=900 三边分别为 a、b、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA 水平面得夹角为h用字母 水平面得夹角为 h 用字母 α 表示，则 i=tanα= l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于 900 的水平 角 如图：OA 表示 OC 表示 OB 表示 角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 视线 铅 直 水平线 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴ 仰 视线 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡 AB 的垂直度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度，用 i 表示，即 i= 坡面与 OD 表示 （也可称东南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解 题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 例 例 1 （2018 孝感）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则 sinA 等于（ ） 考点一：锐角三角函数的概念 3 4 3 4 【思路分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．【解答】 【思路分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴ BC ? AB2 ? AC2 ? 102 ? 82 ? 6 ， ∴ sinA ? AB ? 10 ? 5 故选：A． BC 6 3 ， 【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦 函数的定义． 考点二：特殊角的三角函数值 例 例 2 （2018?大庆）2cos60°=（ ） 3A．1 B． 3 1 2C． D． 2 2 【思路分析】 【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案． 【解答】解：2cos60°=2× 1 2 =1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 考点三：解直角三角形 例 例 3 （2018?香坊区）如图，在△ABC 中，AB=AC，tan∠ACB=2，D 在△ABC 内部，且 内部，且 AD=CD，∠ADC=90°，连接 BD，若△BCD 的面积为 10，则 AD 的长 为 为 ． 【思路分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设 CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示 AC 和 AM 的长，根据三角形面积表示 DH 的长， 10 10 证明△ADG≌△CDH（AAS），可得 DG=DH=MG= a AM=AG+MG，列方程可得结论． ，AG=CH=a+ a ，根据 【解答】解：过D 作 DH⊥BC 于 H，过A 作 AM⊥BC 于 M，过D 作 DG⊥AM 于 G， 设 CM=a， ∵AB=AC， ∴BC=2CM=2a， ∵tan∠ACB=2， AM ∴ =2， CM ∴AM=2a， 由勾股定理得：AC= 5 a， 1S = BC?DH=10， △BDC 2 1 ?2a?DH=10， 2 DH= 1