系统辨识与参数估计大作业教案.docx

系统辨识与参数估计大作业 第一题 递推最小二乘估计参数 ? ? v(k) 1 1?1.5z ?1 ? 0.7z ?2 1.0z ?1 ? 0.5z ?2 1?1.5z ?1 ? 0.7z ?2 z(k ) u(k ) 考 虑 如 上 图 所 示 的 仿 真 对 象 ， 选 择 模 型 结 构 为 ： z(k ) ? a z(k ?1) ? a z(k ? 2) ? b u(k ?1) ? b u(k ? 2) ? v(k ) 1 2 1 2 ，其中v(k ) 是服从 N (0,1) 正态分布的不相关随机噪声；输入信号u(k ) 采用 4 阶逆M 序列， 特征多项式取 F (s) ? 1 ? s ? s 4，幅度为 1，循环周期为 N ? 62bit ；控制? 值，使数据 p 的噪信比分别为 10％，73％，100％三种情况。加权因子?(k ) ? 1 ；数据长度 L=500;初始 条件取 P(0) ? 106 I, θ(0) ? 0.001， 利用递推最小二乘算法在线估计参数， 利用模型阶次辨识方法（AIC 准则），确定模型的阶次。 估计噪声v(k ) 的方差和模型静态增益K 作出参数估计值随时间的变化图答： 设过程的输入输出关系可以描述成z(k) ? hT(k)? ? n(k) z(k ) 是输出量， h(k ) 是可观测的数据向量， n(k)是均值为 0 的随机噪声 h(k ) ? ?? z(k ?1),? z(k ? 2), u(k ?1),u(k ? 2)?T ? ? ?a , a , b , b ?T 1 2 1 2 选取的模型为结构是 z(k) ? ?a z(k ?1) ? a 1 2  z(k ? 2) ? bu 1  (k ?1) ? bu 2  (k ? 2) a ? ?1.5,a 1 2 ? 0.7,b 1 ? 1.0,b 2 ? 0.5 加权最小二乘参数估计递推算法 RWLS 的公式如下， ? 1 ??1 ? ?K (k ) ? p(k ?1)h(k ) ?hT (k ) p(k ?1)h(k ) ? ?(k ) ? ? ? ?? (k ) ? ? (k ?1) ? K (k ) ? z(k ) ? hT (k )? (k ? ? ? p(k ) ? ??I ? K (k )hT (k )?? p(k ?1) 为了把 p(k)的对称性，可以把 p(k)写成 ? 1 ? ? ?p(k) ? p(k ?1)? K (k)KT (k ) ?hT (k ) p(k ?1)h(k ) ? ?(k) ? ? 如果把?(k ) 设成 1 的时候，加权最小二乘法就退化成最小二乘法。用 AIC 准则定阶法来定阶，所用公式 Z ? H ? ?V n n n n Z ? ?z(1),z(2), z(3),..., z(L)?T n ? ? ???a , ?a ,... ? a , b , b ,...b ??T n 1 2 na 1 2 n ? z(0) z(?1) ?? z(1) z(0) ? H ? ?n ? ... ... ? ?z(L ?1) z(L ? 2) ... z(1? n) u(0) u(?1) ... z(2 ? n) u(1) u(0) ... ... ... ... ... z(L ? n) u(L ?1) u(L ? 2) ... u(1? n) ? ?... u(2 ? n) ? ? . ... ... ? ?... u(L ? n) ? ? 其中模型参数? n 和 噪声V (k ) 方差的极大似然估计值为? ，? 2 ML v ? ? (H T H ML n n 2 1 )?1 H T Z n n ? ? (Z v L n H ? n ML )T (Z ? H ? ) n n ML AIC 的定阶公式写成 AIC (n) ? L log ? 2 ? 4n v 取 n ? 1,2,3,4; 分别计算 AIC(n) ，找到使 AIC(n) 最小的那个n 作为模型的阶次。一般说来， 这样得到的模型阶次都能比较接近实际过程的真实阶次。信噪比为 10%时： 参数 a1 a2 b1 b2 噪声方差 静态增益 模型阶次 真值 -1.5 0.7 1 0.5 1 估计值 -1.519 0.72259 1.0314 0.50923 1.0951 7.5661 2 信噪比为 73%时： 参数 a1 a2 b1 b2 噪声方差 静态增益 模型阶次 真值 -1.5 0.7 1 0.5 1 估计值 -1.519 0.72259 1.0314 0.50923 1.0951 7.5661 2 信噪比为 100%时： 参数 a1 a2 b1 b2 噪声方差 静态增益 模型阶次 真