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与圆有关的比例线段
1 .掌握相交弦定理.
2 .掌握割线定理.
3 .掌握切割线定理与切线长定理.
题型一 相交弦定理的应用
例1 已知圆中有两条弦相交,第一条弦被交点分为12 cm和16 cm两段,第二条弦的长为32 cm,求第二条 弦被交点分成的两条线段的长.
分析: 本题考查相交弦定理的应用.
解析: 设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分 别为x cm和(32-x)cm.根据相交弦定理,可得 12×16=(32-x)x , 解得x=8 cm或x=24 cm. 所以第二条弦被交点分成的两条线段长为8 cm和24 cm.
►变式训练
1 .(2015 · 惠州市高三第二次调研考试)如图,在半 径为3的圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E(E 在A 、O之间).若CE=,则AE=___1_____.
题型二 切割线及割线定理
例2 如图,在Rt△ABC中, ∠C=90° ,BE平分 ∠ABC且交AC于点E,当D在AB上, DE⊥EB 时,
(1)求证: AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若AD=6,AE=6,求BC的长.
2 .(2015 · 高三第二次模拟考试数学试题)如图, PT是圆O的切线, PAB是圆O的割线,若PT=2, PA=1 , ∠P=60°,则圆O的半径r=________
.
题型三 切线长定理的应用
►变式训练
3.如图, △ABC外切于⊙O,切点分别为D 、E、 F, ∠A=60° ,BC=7 ,⊙O半径为,则△ABC 周长为2__0______.
例 如图所示, AB为⊙O的弦, P为弦AB上一点, 且PA=4,PB=6,PO=5,求⊙O的半径.
【错解】延长PO交⊙O于C,
则由相交弦定理得PA·PB=PC·PO,
∴4×6=5PC, ∴PC=4.8,
∴⊙O的半径为PC+PO=4.8+5=9.8.
分析: 错解中把OC当成了弦,乱用了相交弦定 理.
【正解】设⊙O的半径为R,延长OP交⊙O于C,延 长PO交⊙O于D,
由相交弦定理得PA·PB=PC·PD,
∴4×6=(R-5)(R+5),解得R=7或R=-7(舍) .
∴⊙O的半径为7.
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