均值不等式教案.doc

§ 3.2 均值不等式 本节内容是选自人教版高中数学B版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。 教学目标 知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意 义；能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘 重难点 重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件 难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式 教学方法 讲授法 教学过程 情境引入 某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为a，b，那我们能否从其中找出一些不等关系？ 解答：图中四个直角三角形的面积总和为： 大的正方形的面积为： 我们可以很直观地得出：> 问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？ 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是时，这时，正方形EFGH变为一点，可以得到。 得出结论并证明（基础） 一般地，,则. 证明： 当时，；当时，. 综上所述，可得. 均值不等式的变式（重点） 若则（当时，“=”取到） 需明确的两个概念：表示与的算术平均数 ； 表示与的几何平均数 。 证明（几何意义）： 如图：是圆的直径，点是上任一点，，，过点做交圆周于，连接. 则 又，则 所以，也即 又，所以. 所以其几何意义为：半径不小于半弦 巩固应用 （1）已知都是正数，求证：. 证明： ，由均值不等式可得 ， 当且仅当且同时成立， 即时，等号成立. （2）已知都是正数，求证： 证明： ，， 课堂小结 本节课，我们学习了重要不等式；两正数的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求都是实数，而后者要求都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2. 板书设计 引入 四个直角三角形的面积总和为： 大的正方形的面积为： 于是可得到> 当a=b时，也就是直角三角形变为等腰直角三 角形，中间的正方形EFGH变为一个点时， 二、均值定理1：一般地，,则 证明： 当当时， 综上所述，可得 均值定理2：若则（当时，“=”取到） 证明（几何意义）： 如图：AC是圆O的直径，点D是AC上任一点，AD=a，CD=b，过点D做BDAC交圆周于B，连结OB. 则 OB= 又，则 所以，也即 又，所以 所以其几何意义为：半径不小于半弦 应用 已知都是正数，求证： （1） 证明： ，由均值不等式可得 ，当且仅当同时成立， 即时，等号成立. （2） ，， ，对每个. 证明：用数学归纳法. 当时，就是均值不等式，显然成立； 设成立，证成立； 设成立，证成立； 即已知，对每个，