线性代数试题与答案.docx

1 / 1 / 1 2011-2012-2 线性代数 46 学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 设 A 为 m ? n 矩阵，齐次线性方程组 AX ? 0 仅有零解的充分必要条件是 A 的（ A）． ( A ) 列向量组线性无关， （ B ） 列向量组线性相关， （ C ）行向量组线性无关， （ D ） 行向量组线性相关． 向量?, ?,? 线性无关，而?, ?,? 线性相关，则（ C ）。 ( A ) ? 必可由?,? ,? 线性表出， （ B ） ? 必不可由?,? ,? 线性表出， （ C ） ? 必可由?, ?,? 线性表出， （ D ） ? 必不可由?, ?,? 线性表出. f (x , x , x ) ? (? ?1)x2 ? ?x2 ? ?? ?1?x2 二次型 1 2 3 1 2 3 ，当满足（ C ）时，是正定二次型． ( A ) ? ? ?1； （ B ） ? ? 0 ； （ C ） ? ? 1 ； （ D ） ? ? 1 ． 初等矩阵（A）； ( A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（ B ） 所对应的行列式的值都等于 1； （ C ） 相乘仍为初等矩阵； （ D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知? ,? 1 2 , ,? n 线性无关，则（C ） ? 1 ?? ,? 2 2 ?? , ,? 3  n?1 ?? 必线性无关； n 若n 为奇数，则必有? 1 若n 为偶数，则必有? 1 ?? ,? 2 2 ?? ,? 2 2 ?? , 3 ?? , 3 ,? n?1 ,? n?1 ?? ,? n n ?? ,? n n ?? 线性相关； 1 ?? 线性相关； 1 以上都不对。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6．实二次型 f ?x , x , x ?? tx 2 ? 4x x ? x 2 ? x 2 秩为 2，则t ? 1 2 3 1 1 2 2 3 ? ?? 0 2 0 ? ? 7．设矩阵 A ? ? 0 0 3 ? ，则 A?1 ? ? ?? 4 0 0 ? ? 设 A 是n 阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，已知 A ? 5 ，则 AA* 的特征值为 。 a b a b a b 1 1 1 2 行列式 a b a b 2 1 2 2 1 3 a b = ; 2 3 a b a b a b 3 1 3 2 3 3 ? 1 0 2 ? 10. 设 A 是 4×3 矩阵， R( A) ? 2 ，若 B ? ? 0 2 0 ? ，则 R ?AB?= ； ? ? ? ?? 0 0 3 ? ? 三、计算题（每小题 10 分，共 50 分） 11a ? b 1 1 求行列式 D ? a ? b 2 1 a ? b 3 1 a ? b 1 2 a ? b 2 2 a ? b 3 2 a ? b 1 3 a ? b 2 3 a ? b 3 3  的值。 ? ?? 1 1 ? ? ? 设矩阵 A ? ? ?1 1 1 ? ，矩阵 X 满足 A* X ? A?1 ? 2 X ，求 X 。 ? ?? 1 ?1 1 ? ? ?x ? x ? 2x ? 0 ? 1 2 4 ?3x ? 2x ? x ? x ? 1 求线性方程组? ? 1 2 3 4 2x ? 3x ? x ? x ? 1 2 的通解。 1 2 3 4 ??x ? 4x ? 1 2 ? x ? 3x ? 1 3 4 已知? 1 ? ?1,2,2 ?T ,? 2 ? ?3,6,6 ?T ,? 3 ? ?1,,0,3 ?T ,? 4 ? ?0,4, ?2?T ，求出它的 秩及其一个最大无关组。 设 A 为三阶矩阵，有三个 不同特征值 ? , ? , ? , ? ,? ,? 依次是属于特征值 1 2 3 1 2 3 ? , ? , ? , 的特征向量，令? ? ? ?? ?? , 若 A3 ? ? A? ，求 A 的特征值并计算行列式 1 2 3 1 2 3 2A ? 3E. 四、解答题（10 分） ? 1 0 0 ? 16. 已知 A ? ? 0 3 2 ? ，求 A10 ? ? ? ?? 0 2 3 ? ? 五、证明题（每小题 5 分，共 10 分） 设? 是非齐次线性方程组 AX ? b 的一个特解， ? ,? , 1 2 ,? 为对应的齐次线性方 r 程组 AX ? 0 的一个基础解系，证明：向量组?,? ,? , 1 2 ,? 线性无关。 r 已知 A 与 A ? E 都是 n 阶正定矩阵，判定 E ? A?1 是否为正定矩阵，说明理由. 2010-2011-2 线性代数