线性代数 第一章总结.docx

PAGE PAGE 10 第一章 行列式 线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。 本章的教学基本要求： 了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列） 展开定理计算行列式的方法， 会计算简单的 n 阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。 本章的重点及难点： 利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。 § 1 二阶、三阶行列式 一、内容提要 二阶行列式的定义 a 11 a 21  a ? a12 ? a a 11 22 22  a a 12 21 其中 a 称为行列式的元素， a 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为 ij ij 行标，表明该元素位于 第 i 行；第二个下标称为 列标，表明该元素位于 第 j 列。 二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的 展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则 得到，即： a a11a a a 11 a 21 a ? 22 ? = a a 11 22 a a 12 21 其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。 三阶行列式的定义 a a 11 12 a a 21 22 a a 31 32 a 13 a ? a a a 23 11 22 33 a 33  a a a 12 23 31  a a 13  a 21 32  a a a 13 22 31  a a 12  a 21 33  a a a 11 23 32 三阶行列式的展开式也可以用 对角线法则 得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示： a11a12 a 11 a 12 a 13 a 21 a a a 22 a a 23 31 32 33 其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得 六项的代数和就是三阶行列式的展开式。 二、例题分析 例 1 求解二元线性方程组  ?3x ? 2x ? 2 ? 1 2 ?x ? 4x ? 3 ? 1 2 解： 由于系数行列式 D ? 3 2 1 4 ? 3 ? 4 ? 2 ?1 ? 10 ? 0 D ? 2 2 1 3 4 ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ， D2 D ? 3 2 1 3 D  ? 3 ? 3 ? 2 ?1 ? 7 所以方程组有唯一解为： x ? 1 1 D ? 0.2 ， x ? 2 2 D ? 0.7 。 1 2 3 例 2 计算行列式 D ? ? 1 3 4 2 5 2 解 D ? 1? 3 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? (?1) ? 5 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? (?1) ? 2 ?1? 4 ? 5 ? ?27 例 3 计算行列式 a a a a a 11 12 13 a 0 0 a 0 11 ； DD ? ； D 1 0 a 2 ? 0 a 22 a ； D 23 3 ? a11 a ； D4 ? a21 a22 0 22 0 0 a 21 33 22 a a a 31 32 33 解： 由对角线法则有： D 1 ? a a 11 22 ； D ? a a a ； 2 11 22 33 D ? a a 3 11 22 ； D ? a a a 4 11 22 33 a 0 0 a 0 11 特别地: 11 ? a a 0 a 11 22 ； 0 a 22 0 ? a a a 11 22 33 22 0 0 a 33 三、小结 对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。由例 3 得结论： 上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。 对角行列式等于主对角线上元素的乘积。 § 2 全排列及其逆序数 一、内容提要 排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列 . n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 P n 表示. P ? n! 。 n 逆序 在一个排列 p 1 p ? p ? p 2 s t ? p 中，若 p n s ? p ，则称这两个数组成一个逆序 . t 排列 p 1 p ? p 2 n 中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 ? ( p 1 p ? p ) 。 2 n 排列 p 1 p ? p 2 n 中，考虑元素 p i (i ? 1,2,?, n) ，如果比 p i 大的且排在 p i 前面的元素有 t i 个，则称元素 p i 的逆序数是 t i 。记为? ( p i ) ?