线性代数的知识点归纳(同济_第五版).docx

实用标准文案 实用标准文案 精彩文档 精彩文档 线性代数复习要点 第一部分 行列式 排列的逆序数 行列式按行（列）展开法则 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 行列式的定义 行列式的计算： ① (定义法) D n  a a 11 12 a a 21 22 a a n1 n 2  a 1n a 2n j j j a1 2 n a nn  ( 1) ( j j  1 2aaaj ) 1 2 a a a n 1 j 2 j nj 1 2 n ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. a A i1 j1 a A i2 j2 A , i j, a A in jn 0, i j. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. b11** *0b22* * b 11 * * * 0 b 22 * * 0 * 0 0 b nn 11 22 nn ④ 若 A与B 都是方阵（不必同阶）,则 A O A A O = A B O B O B B 例 计算  2 -1 0 0 -1 3 0 0 0 0 1 1 O A A = B O B O ( 1)mn A B 0 0 2 -1 0 -1 3 0 解 0 0 1 -2 5 0 0 2 -1 1 1 = 5 7 35 1 -1 3 -2 5 a1nOa a 1n O a 1n a a 2 n 1 2 n 1 ( O a O ⑤ 关于副对角线： n (n 1) a a a 2a 2 n1 n1 1 1 1 x x x 1 2 n 1n 2 n n1 ⑥ 范德蒙德行列式： x2 1 xn 1 1 x2 2 xn 1 2 x2 n xn 1 n x x i j 1 j i n 例 计算行列式 abbbbab a b b b b a b b ⑦ a b 型公式： b b a b [a (n 1)b](a b b b a ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式 D 找出 D 与 D 或 D , D 之间的一种关系——称为递推公式，其中 n n n 1 n 1 n 2 D , D , D 等结构相同，再由递推公式求出 D 的方法称为递推公式法. n n 1 n 2 n (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 对于n 阶行列式A ，恒有： E A 证明 A 0 的方法：  n n ( 1)k S k k 1 n k ，其中 S 为k 阶主子式； k ①、 A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A ) n ； ⑤、证明 0 是其特征值. 代数余子式和余子式的关系： M ij ( 1)i j A ij A ( 1)i j M ij ij 第二部分 矩阵 矩阵的运算性质 矩阵求逆 矩阵的秩的性质 矩阵方程的求解 a a a 11 12 1n 1. 矩阵的定义 由m n 个数排成的m 行 n 列的表 A a 21 a 22 a 2n 称为 m n 矩阵. 记作： A a 或 A ij m n m n a a a m 1 m 2 mn 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. 数与矩阵相乘：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 A ( a ). 矩阵与矩阵相乘：设 A (a )  , B (b ) ij ,则C AB (c ) ， ij m s 其中 b 1 j 2 2 j a b i1 1 j ij s n ij m n c (a ,a , ,a ) a b a b ij i1 i2 is b sj i2 2 j is sj 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式 AB BA AB 0 A 0或B=0 不成立. 分块对角阵相乘： A A B 11 ,B 11 A B A B AB 11 11 A B An , An 11 An 22 22 22 22 22 用对角矩阵 ○左 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行 向量； a 0 0 b b b a b a b a b 1 11 12 1n 1 11 1 12 1n 0 a 0 b b b a b a b a b B 2 21 22 2n 2 21