线面角地求法总结材料.docx

标准实用 标准实用 文案大全 文案大全 线面角的三种求法 直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。解:（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, C H S B M A 图 1 ∴SC⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为 60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面 ABC⊥面SCM 过 S 作 SH⊥CM 于 H, 则SH⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 利用公式sinθ=h／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例 2 （ 如图 2） 长方体ABCD-A B C D AB=3 ,BC=2, A A= 4 ，求AB 与面 AB C D 所成 的角。 1 1 1 1 , 1 1 1 解：设点 B 到AB1C1D 的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5 DC D C A 3 2 B 4 H D 1 C 1 1 B 1 图2 ∴AB 与面 AB C D 所成的角为arcsin 4／5 1 1 利用公式 cosθ=cosθ ·cosθ 1 2 （如图3） 若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的 AOBαC一条直线，其中θ A O B α C θ 为OA与OB所成的角，即线面角，θ为OB与OC所成的角，那么 cosθ=cosθ ·cosθ （同 1 2 1 2 学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一 切角中最小的角（常称为最小角定理） 例 3（如图 4） 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60°, ，求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。 解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则 ∠AOD 即为OA 与面 OBC 所成的角，可知 ∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60°=cos∠AOD·cos30° ∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。 A Bα B α O D C （一）复习： 直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内） 思考：当直线a 与平面? 的关系是a ? ? A 时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？ （可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量） （二）新课讲解： 平面的斜线和平面所成的角： 已知，如图， AO 是平面? 的斜线， A 是斜足， OB 垂直于平面? ， B 为垂足，则直线 AB 是 斜线在平面? 内的射影。设 AC 是平面? 内的任意一条直线，且 BC ? AC ，垂足为C ， 又设 AO 与 AB 所成角为? 1 ， AB 与 AC 所成角为? ， AO 与 AC 所成角为? ，则易知： 2 | AB |?| AO | cos? 1 ，| AC |?| AB | cos? 2 ?| AO | cos? 1 cos? O A? A ? ? 1?2 B ? C 又∵| AC |?| AO | cos? ， 2可以得到： cos? ? cos? ?cos? ， 2 注意：? 2 ?(0, ? 2 1 ) （若? 2 ? ? ，则由三垂线定理可知， 2 OA ? AC ，即? ? ? 2 ；与“ AC 是平面? 内的任意一条直线，且BC ? AC ，垂足为C ” 不相符）。 易得： cos? ? cos?  又?,? ? ?