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第
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专题6.3 求数列的前n项和
考点6.3.1 等差、等比公式法
【951】.(2022·浙江·高考真题·★★★★)
已知等差数列的首项,公差.记的前n项和为.
(1)若,求;
(2)若对于每个,存在实数,使成等比数列,求d的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件,求出,再求;
(2)由等比数列定义列方程,结合一元二次方程有解的条件求的范围.
(1)
因为,
所以,
所以,又,
所以,
所以,
所以,
(2)
因为,,成等比数列,
所以,
,
,
由已知方程的判别式大于等于0,
所以,
所以对于任意的恒成立,
所以对于任意的恒成立,
当时,,
当时,由,可得
当时,,
又
所以
【952】.(2021·全国·高考真题·★★★)
记是公差不为0的等差数列的前n项和,若.
(1)求数列的通项公式;
(2)求使成立的n的最小值.
【答案】(1);(2)7.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先求得的值,然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式;
(2)首先求得前n项和的表达式,然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得:,则:,
设等差数列的公差为,从而有:,
,
从而:,由于公差不为零,故:,
数列的通项公式为:.
(2)由数列的通项公式可得:,则:,
则不等式即:,整理可得:,
解得:或,又为正整数,故的最小值为.
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
【953】.(2021·浙江·高考真题·★★★★)
已知数列的前n项和为,,且.
(1)求数列的通项;
(2)设数列满足,记的前n项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由,结合与的关系,分讨论,得到数列为等比数列,即可得出结论;
(2)由结合的结论,利用错位相减法求出,对任意恒成立,分类讨论分离参数,转化为与关于的函数的范围关系,即可求解.
【详解】
(1)当时,,
,
当时,由①,
得②,①②得
,
又是首项为,公比为的等比数列,
;
(2)由,得,
所以,
,
两式相减得
,
所以,
由得恒成立,
即恒成立,
时不等式恒成立;
时,,得;
时,,得;
所以.
【点睛】
易错点点睛:(1)已知求不要忽略情况;(2)恒成立分离参数时,要注意变量的正负零讨论,如(2)中恒成立,要对讨论,还要注意时,分离参数不等式要变号.
【954】.(2020·山东·高考真题·★★★)
已知公比大于的等比数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用基本元的思想,将已知条件转化为的形式,求解出,由此求得数列的通项公式.
(2)方法一:通过分析数列的规律,由此求得数列的前项和.
【详解】
(1)由于数列是公比大于的等比数列,设首项为,公比为,依题意有,解得解得,或(舍),
所以,所以数列的通项公式为.
(2)[方法一]:规律探索
由于,所以
对应的区间为,则;
对应的区间分别为,则,即有2个1;
对应的区间分别为,则,即有个2;
对应的区间分别为,则,即有个3;
对应的区间分别为,则,即有个4;
对应的区间分别为,则,即有个5;
对应的区间分别为,则,即有37个6.
所以.
[方法二]【最优解】:
由题意,,即,当时,.
当时,,则
.
[方法三]:
由题意知,因此,当时,;时,;时,;时,;时,;时,;时,.
所以
.
所以数列的前100项和.
【整体点评】
(2)方法一:通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值,从而求出数列的前项和,这是本题的通性通法;方法二:通过解指数不等式可得数列的通项公式,从而求出数列的前项和,是本题的最优解;方法三,是方法一的简化版.
【955】.(2022·上海奉贤·二模·★★★)
已知数列和,其中,,数列的前项和为.
(1)若,求;
(2)若是各项为正的等比数列,,求数列和的通项公式.
【答案】(1)
(2),
【解析】
【分析】
(1)先判定数列和分别为等差和等比数列,进而分别得到其通项公式,从而利用分组求和的方法得到数列的前项和.
(2)利用数列的前项和列出方程组,解之即可求得、d、、q,进而求得数列和的通项公式.
(1)
当时,,从而是等差数列,
,所以是等比数列
又,则
所以
(2)
是各项为正的等比数列,设其首项为,公比为q,
由,可得,则(定值)
则数列为等差数列,设其首项为,公差为d,
由数列的前项和,
可得方程组???整理得
解得,则
由,可得
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