专题5.3 平面向量与其它知识的综合应用（解析版）2024年高考数学总复习满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）.docx

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 30 页 专题5.3 平面向量与其它知识的综合应用 【811】．（2016·四川·高考真题·★★★★） 在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又 ，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B. 【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题 【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． 【812】．（2018·全国·专题练习·★★★★） 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】 【详解】 如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则 ，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【813】．（2013·湖南·高考真题·★★★） 已知是单位向量，.若向量满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【详解】 因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为. 【814】．（2015·湖南·高考真题·★★★） 已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】 【详解】 由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B. 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键. 【815】．（2012·全国·高考真题·★★） 正方形的边长为，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】 结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.  【816】．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测·★★★★）（多选题） 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（???????） A．若为的垂心，，则 B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1 C．若为锐角三角形且外心为，且，则 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ACD 【解析】 【分析】 A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断. 【详解】 A：如下图，，则为垂心，易知：， 所以，则， 根据向量数量积的几何意义知：，同理， 所以，正确； B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若， 所以，， 由，则， 当时的最小值为，错误； C：由题设，则， 所以，若为中点，则， 故，故共线，又，即垂直平分， 所以，正确； D：由题设，， 则， 所以，若为中点，则， 故，所以的轨迹经过的外心，正确. 故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到；B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断. 【817】．（2022·重庆八中模拟预测·★★★★）（多选题） 在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（???????） A． B．若，则 C． D．若，且，则△为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析