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第
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专题8.3 线面角、二面角
【1145】.(2022·天津·高考真题·★★★★)
直三棱柱中,,D为的中点,E为的中点,F为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可证得结论成立;
(2)利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值;
(3)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
(1)
证明:在直三棱柱中,平面,且,则
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、、、、,则,
易知平面的一个法向量为,则,故,
平面,故平面.
(2)
解:,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,.
因此,直线与平面夹角的正弦值为.
(3)
解:,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,则,
因此,平面与平面夹角的余弦值为.
【1146】.(2022·全国·高考真题)如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.
(1)求A到平面的距离;
(2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由等体积法运算即可得解;
(2)由面面垂直的性质及判定可得平面,建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可得解.
(1)
在直三棱柱中,设点A到平面的距离为h,
则,
解得,
所以点A到平面的距离为;
(2)
取的中点E,连接AE,如图,因为,所以,
又平面平面,平面平面,
且平面,所以平面,
在直三棱柱中,平面,
由平面,平面可得,,
又平面且相交,所以平面,
所以两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,
由(1)得,所以,,所以,
则,所以的中点,
则,,
设平面的一个法向量,则,
可取,
设平面的一个法向量,则,
可取,
则,
所以二面角的正弦值为.
【1147】.(2022·浙江·高考真题·★★★★)
如图,已知和都是直角梯形,,,,,,,二面角的平面角为.设M,N分别为的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、,由平面知识易得,再根据二面角的定义可知,,由此可知,,,从而可证得平面,即得;
(2)由(1)可知平面,过点做平行线,所以可以以点为原点,,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,以及,即可利用线面角的向量公式解出.
(1)
过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、.
∵四边形和都是直角梯形,,,由平面几何知识易知,,则四边形和四边形是矩形,∴在Rt和Rt,,
∵,且,
∴平面是二面角的平面角,则,
∴是正三角形,由平面,得平面平面,
∵是的中点,,又平面,平面,可得,而,∴平面,而平面.
(2)
因为平面,过点做平行线,所以以点为原点, ,、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
设,则,
设平面的法向量为
由,得,取,
设直线与平面所成角为,
∴.
【1148】.(2022·全国·高考真题·★★★★)
如图,四面体中,,E为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【分析】(1)根据已知关系证明,得到,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系,结合面面垂直的判定定理即可证明;
(2)根据勾股定理逆用得到,从而建立空间直角坐标系,结合线面角的运算法则进行计算即可.
(1)
因为,E为的中点,所以;
在和中,因为,
所以,所以,又因为E为的中点,所以;
又因为平面,,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)
连接,由(1)知,平面,因为平面,
所以,所以,
当时,最小,即的面积最小.
因为,所以,
又因为,所以是等边三角形,
因为E为的中点,所以,,
因为,所以,
在中,,所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
设平面的一个法向量为,
则,取,则,
又因为,所以,
所以,
设与平面所成的角的正弦值为,
所以,
所以与平面所成的角的正弦值为.
【1149】.(2021·天津·高考真题·★★★)
如图,在棱长为2的正方体中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点.
(I)求证:平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
(III)求二面角的正弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II);(III).
【分析】(I)建立空间直角坐标系,求出及平面的一个法向量,证明,即可得证;
(II)求出,由运算即可得解;
(III)求得平面
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