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吴淞中学2023学年第一学期高二年级数学月考
一?填空题(4'×6+5'×6)
1. 下列事件中,属于随机现象的序号是______.
①明天是阴天; ②方程有两个不相等的实数根;
③明天吴淞口的最高水位是4.5米; ④三角形中,大角对大边.
2. 已知复数满足(为虚数单位),则________.
3 若,则______.
4. 若三点不能构成三角形,则______.
5. 一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为,则球的体积为______.
6. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,……,699,700.从中抽取70个样本,若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据,则得到的第4个样本编号是________.
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
7. 在棱长为正方体中,为的中点,则异面直线与所成角的大小为_________.
8. 抽样统计甲、乙两位同学次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为__________.
9. 已知正四棱锥的棱长都相等,侧棱、的中点分别为、,则截面与底面所成的二面角的正弦值是__.
10. 甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,设比赛停止时已达局数为,则______.
11. 魔方,又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速?盲拧?单拧等多种玩法,风靡程度经久未衰,每年都会举办大小赛事,是最受欢迎的智力游戏之一,一个三阶魔方,由27个单位正方体组成,如图是把魔方的中间一层转动了45°,则该魔方的表面积是__________.
12. 在中,,,分别为三个内角,,的对边,,,则的面积的最大值是___________.
二?单选题(4'×2+5'×2)
13. 已知空间四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的( )
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 某高中共有学生1200人,其中高一、高二、高三的学生人数比为,现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本,则高三年级应该抽取( )人.
A. 16 B. 18 C. 20 D. 24
15. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”,甲、乙两人能得满分的概率分别为、,两人能否获得满分相互独立,则下列说法正确的是( ).
A. 两人均获得满分的概率为
B. 两人至少一人获得满分的概率为
C. 两人恰好只有甲获得满分概率为
D. 两人至多一人获得满分的概率为
16. 已知平面所成角为为两平面外一点,则过点且与平面所成角均为的直线有( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三?解答题(14+14+16+16+18)
17. 已知向量,.
(1)求实数的值,使;
(2)若,求与的夹角的余弦值.
18. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”,如图1所示,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合,如图2所示,已知该圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面直径为6米.
(1)求该蒙古包的侧面积.
(2)求该蒙古包的体积.
19. 如图,在直棱柱中,,,点、、分别是、、的中点.
(1)求与平面所成角的大小;
(2)求到平面的距离.
20. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为,,,,.
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值表示);
(3)从评分在的职工的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率.
21. 已知函数
(1)当时,求函数的最大值,并求出取得最大值时所有的值;
(2)若为偶函数,设,若不等式在
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