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海淀区2023—2024学年第一学期期中练习
高三数学
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足,则( )
A. B. C. D.
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增是( )
A. B. C. D.
4 已知向量满足,则( )
A. B. 0 C. 5 D. 7
5. 设等差数列的前项和为,且,则的最大值为( )
A. B. 3 C. 9 D. 36
6. 设,则( )
A. B. C. D.
7. “”是“为第一或第三象限角”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在中,,则( )
A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角
9. 古典吉他的示意图如图所示.分别是上弦枕、下弦枕,是第品丝.记为与的距离,为与的距离,且满足,其中为弦长(与的距离),为大于1的常数,并规定.则( )
A. 数列是等差数列,且公差为
B. 数列是等比数列,且公比为
C. 数列是等比数列,且公比为
D. 数列是等差数列,且公差为
10. 在等腰直角三角形中,为斜边的中点,以为圆心,为半径作,点在线段上,点在上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11. 函数的定义域是______.
12. 在平面直角坐标系中,角以为始边,终边经过点,则________.
13. 已知非零向量,其中是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数的值为________,________.
14. 已知函数的部分图象如图所示.
①函数的最小正周期为________;
②将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象.若函数为奇函数,则的最小值是________.
15. 已知函数给出下列四个结论:
①当时,的最小值为;
②当时,存最小值;
③的零点个数为,则函数的值域为;
④当时,对任意.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16. 已知无穷等比数列的各项均为整数,其前项和为.
(1)求的通项公式;
(2)证明:对这三个数成等差数列.
17. 已知函数,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在.
条件①:;
条件②:函数在区间上是增函数;
条件③:.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
(1)求的值;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
18. 已知曲线与轴交于不同的两点(点在点的左侧),点在线段上(不与端点重合),过点作轴的垂线交曲线于点.
(1)若为等腰直角三角形,求的面积;
(2)记的面积为,求的最大值.
19. 某景区有一人工湖,湖面有两点,湖边架有直线型栈道,长为,如图所示.现要测是两点之间的距离,工作人员分别在两点进行测量,在点测得,;在点测得.(在同一平面内)
(1)求两点之间距离;
(2)判断直线与直线是否垂直,并说明理由.
20. 已知函数,且.
(1)求的值;
(2)求的单调区间;
(3)设实数满足:存在,使直线是曲线切线,且对恒成立,求的最大值.
21. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列,记,,定义.
(1)若,写出的值;
(2)若,求;
(3)设求证:对任意的无穷数列,存在数列,使得为常数列.
海淀区2023—2024学年第一学期期中练习
高三数学
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据并集的运算即可求解.
【详解】集合包含所有小于2的实数,包含1和2两个元素,所以,
故选:B.
2. 若复数满足,则( )
A B. C. D.
【答案】A
【分析】根据复数除法和乘法运算法则计算.
【详解】.
故选:A.
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】A选项,定义域不关于原点对称,不是偶函数;B选项,为奇函数;C选项,根据得到C不满足在区间上单调递增;D选项,判断出函数为偶函数且在上单调递增.
【详解】A选项,的定义域为,定义域不关于原点对称,故不是偶函数,A错误;
B选项,的定义域为R,且,故为奇函数,B错误;
C选项,设,因为,
故在上不单调递增,C错误;
D选项,的
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