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一、椭圆第一个定义的应用
椭圆的第一个定义 平面内有两个定点 F 、F ,和一个定长 2a。若动点 P 到
1 2
两个定点距离之和等于定长 2a,且两个定点距离|F F |2a.则动点轨迹是椭圆。
1 2
两个定点 F 、F 称为椭圆的焦点。
1 2
由此定义得出非常重要的等式 ,其中 P 为椭圆上一个点。此等
式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源,也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长 2a .在有关椭圆的问题中,若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息,首先考虑的就是能否用上这个关系式。
应用举例
例 1. 已知点 F (?3,0) , F (3,0) ,有 PF ? PF
? 6 ,则 P 点的轨迹是 .
1 2 1 2
例 2.求证以椭圆 (ab0) 上任意一点 P 的
焦半径为直径画圆,这个圆必与圆 相切.
解评:此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答,计算量都很大,解题过程冗
长,属于中档题。我们若抓住PF
2
为一个圆直径,PF
1
为另一个圆半径的 2 倍,用
公式 ,很容易得出正确解答。
每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一 条成功之路,都是充满坎坷的,只有那些坚信自己目标,不断努力、不断奋斗的人,才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信,那就是,当你能把自己感动得哭了的时候,你就成功了!
例 3. F 、F 是椭圆 的两个焦点,P 是椭圆上一点,
1 2
求 的面积.24
解评: 题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息,即可试探是否能用解决
例 4.P 是椭圆 x2 ? y2 ? 1 上位于第一象限内的点, F 、F
是椭圆的左、右焦点,
45 20 1 2
若 则 PF
1
PF
2
的值为( )
A. 6 5 B. 2 5 C.
1 5 D. 2 5
3 3
例 5. 在圆C: ( x ? 1)2 ? y2 ? 25 内有一点A (1,0) ,Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段 CQ 的交点为 M,求 M 点的轨迹方程.
练:一动圆与圆⊙ o1:x2+y2+6x+5=0 外切,同时与⊙ o2 : x2+y2_ 6x _ 91=0 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一 条成功之路,都是充满坎坷的,只有那些坚信自己目标,不断努力、不断奋斗的人,才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信,那就是,当你能把自己感动得哭了的时候,你就成功了!
例 6. 已知定点 A(-2, 3 ),点 F 为椭圆
x2 ? y2 ? 1 的右焦点,点 M 在该椭圆上移动时,
16 12
求| AM| + | MF |的最小值与最大值。
例 7.设 P 是直线 x-y+9=0 上一点,过 P 点的椭圆以 F
1
(-3,0)和 F (3,0)为
2
焦点,试求 P 点在什么位置时,所求椭圆的长轴最短,并写出具有最短长轴的椭圆的方程。
解评:(1)转化思想是高中数学重要的数学思想,此题把求长轴最短值转化为
求 的最小值,再转化为求 F
1
关于直线 x-y+9=0 的对称点。这样做
后,思路清晰,条理分明,计算简捷。
每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一 条成功之路,都是充满坎坷的,只有那些坚信自己目标,不断努力、不断奋斗的人,才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信,那就是,当你能把自己感动得哭了的时候,你就成功了!
二、椭圆第二个定义的应用
椭圆的第二个定义(课本 P78)点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
时,这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆
的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。
应用举例
例 1.椭圆焦点 F (-c,0),F (c,0),离心率 M 是椭圆上一点,其横坐
1 2
标为 x ,求 M 点的两个焦半径|MF |和|MF |之长.
0 1 2
2解:过 M 作右准线的垂线MM ,则
2
根据椭圆第二定义
同理可得
解评(1)解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长,因此椭圆上一点到准线的距离易求,某点的焦半径 结果易见。题设中若有某点的焦半径信息,用第二定义解题可得事半功倍之效。
(2)此题的结果
都可作为公式加以应用。
,与第二定义等式
每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一 条成功之路,都是充满坎坷的,只有那些坚信自己目标,不断努力、不断奋斗的人,才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信,那就是,当你能把自己感动得哭了的时候
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