高中数学导数教案.docx

精编教学文档，在此教育 精编教学文档，在此教育 导数的背景 一、导入新课 瞬时速度 问题 1：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？ 1 析：大家知道，自由落体的运动公式是s ? gt 2 （其中 g 是重力加速度）. 2 当时间增量?t 很小时，从 3 秒到（3＋ ?t ）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度. 从 3 秒到（3＋ ?t ）秒这段时间内位移的增量： ?s ? s(3 ? ?t) ? s(3) ? 4.9(3 ? ?t) 2 ? 4.9 ? 32 ? 29.4?t ? 4.9(?t) 2 v从而， ?? ? v ? s?t ? 29.4 ? 4.9?t . s 从上式可以看出， ?t 越小， ?s ?t 越接近 29.4 米/秒；当?t 无限趋近于 0 时， ?s 无限趋近于 29.4 米/秒. 此时我们说，当?t 趋向于 0 时， ?s 的极限是 29.4. ?t ?t 当?t 趋向于 0 时，平均速度?s ?t 的极限就是小球下降 3 秒时的速度，也叫 做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是 s＝s（t），则物体在 t 到（t＋ ?t ）这段时间 内的平均速度为 ?s s(t ? ?t) ? s(t) 如果??. 如果? ? ?s 无限趋近于 ?t ?t 无限趋近于 0 时， t 某个常数 a，就说当?t 趋向于 0 时， ?s ?t ? 的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 t 的瞬时速度. 切线的斜率 问题 2：P（1,1）是曲线 y ? x 2上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为 1＋ ?x ，则点Q 的纵坐标为（1＋ ?x ）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量（即函数的增量） ?y ? (1 ? ?x) 2 ? 1 ? 2?x ? (?x) 2 ， ?y 2?x ? (?x)2 所以，割线 PQ 的斜率k PQ ? ?x ? ?x ? 2 ? ?x . 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时， ?x 变得越来越小， k 越来 PQ 越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即?x 无限趋近于 0 时， k PQ 无限趋近于 这表明，割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为： y ? 2x ? 1. 一般地，已知函数 y ? f (x) 的图象是曲线 C，P（ x , y 0 0 ），Q（ x 0 ?x, y 0 ? ?y ） 是曲线 C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动. 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P，即?x 趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线. 此时，割线 PQ 的斜 率k ? PQ ?y 无限趋近于切线 PT 的斜率 k，也就是说，当?x 趋向于 0 时，割线 ?x PQ 的斜率k PQ ? ?y ?x 的极限为 k. 边际成本 问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为C(q) ? 3q 2 ? 10 ， 我们来研究当 q＝50 时，产量变化?q 对成本的影响.在本问题中，成本的增量为： ?C ? C(50 ? ?q) ? C(50) ? 3(50 ? ?q) 2 ? 10 ? (3 ? 502 ? 10) ? 300?q ? 3(?q) 2 . 产量变化?q 对成本的影响可用： ?C ? 300 ? 3?q 来刻划，?q 越小， ?C  越接近 300；当?q  ?C 无限趋近于 0 时， ?q ?q ?q 无限趋近于 300，我们就说当?q 趋向于 0 时， ?C 的极限是 300. ?q 我们把?C ?q  的极限 300 叫做当q＝50 时C(q) ? 3q 2 ? 10 的边际成本. 一般地，设 C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为 C＝C（q）， 当产量为 q 时，产量变化?q 对成本的影响可用增量比 ?C ? C(q0 ? ?q) ? C(q ) 0 0 ?q ?q 刻划. 如果?q 无限趋近于 0 时，?C 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际 ?q 成本. 它表明当产量为 q 0 的一个近似值）. 二、小结 时，增加单位产量需付出成本 A（这是实际付出成本 瞬时速度是平均速度?s 当?t 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置， ?t 切线的斜率是割线斜率?y 当?x 趋近于 0 时的