高等数学练习题(附答案).docx

PAGE PAGE 21 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题 2 分，共 20 分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若 f (x) 在 x 点可导，则 f (x ) 也在 x 点可导. 0 0 （ ）6. 若连续函数 y ? f (x) 在 x 点不可导，则曲线 y ? f (x) 在(x , f (x )) 点没有切 0 0 0 线. （ ）7. 若 f (x) 在[ a, b ]上可积，则 f (x) 在[ a, b ]上连续. （ ）8. 若 z ? f (x, y) 在（ x , y ）处的两个一阶偏导数存在，则函数 z ? f (x, y) 在 0 0 （ x , y ）处可微. 0 0 （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数 f (x) 在区间(?1,1 ) 内具有二阶导数，且 f ?(0) ? f ?(0) ? 1 , 则 f (0) 为 f (x) 的一个极小值. 二、填空题.（每题 2 分，共 20 分） 1. 设 f (x ? 1) ? x 2 ，则 f (x ? 1) ? . 1 2. 若 f (x) ? 2 x 1 2 x ? 1 ，则 lim ? . ? 1 x?0? 3. 设 单 调 可 微 函 数 f (x) 的 反 函 数 为 g(x) , f (1) ? 3, f ?(1) ? 2, f ?(3) ? 6 则 g ?(3) ? . 设u ? xy ? x , 则du ? . y 曲线 x 2 ? 6 y ? y 3 在(?2 , 2) 点切线的斜率为 . 16. 设 f (x) 为可导函数, f ?(1) ? 1, F (x) ? f ( ) ? f (x 2 ) ,则 F ?(1) ? . 1 x 7. 若? f ( x) t 2 dt ? x 2 (1 ? x), 则 f (2) ? . 0 x8. f (x) ? x ? 2 x 在[0,4]上的最大值为 . 广义积分? ?? 0 e?2 x dx ? . 设D 为圆形区域 x 2 y 2 ? 1, ?? y 1 ? x5 dxdy ? . D 三、计算题（每题 5 分，共 40 分） 1. 计算lim( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) . n?? n 2 (n ? 1) 2 (2n)2 2. 求 y ? (x ? 1)(x ? 2) 2 (x ? 3)3 ??(x ? 10)10 在（0，+ ? ）内的导数. 求不定积分??1 x(1 ? x) dx . 计算定积分?? 0 sin3 x ? sin5 xdx . 求函数 f (x, y) ? x3 ? 4x 2 2xy ? y 2 的极值. 设平面区域D 是由 y ? x , y ? x 围成，计算?? D sin y dxdy . y 计算由曲线 xy ? 1, xy ? 2, y ? x, y ? 3x 围成的平面图形在第一象限的面积. 求微分方程 y? ? y ? 2x 的通解. y 四、证明题（每题 10 分，共 20 分） 1? x2证明： arc tan x 1? x2  (?? ? x ? ??) . 设 f (x) 在闭区间[ a, b] 上连续，且 f (x) ? 0, F (x) ? ?x f (t)dt ? ?x 1 dt 0 b f (t) 证明：方程 F (x) ? 0 在区间(a, b) 内有且仅有一个实根. 《高等数学》参考答案 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题 2 分，共 20 分） 1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√. 二、 填空题.（每题 2 分，共 20 分） 1. x 2 ? 4x ? 4 ； 2. 1； 3. 1/2； 4. ( y ? 1/ y)dx ? (x ? x / y 2 )dy ； 3 365. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 3 36 三、计算题（每题 5 分，共 40 分） 解：因为 n ?1 (2n)2 ? 1 ? n2 1 ? (n ?1)2 ? n ?1 ?1(2n ? 1 (2n)2 且 lim n ?1 ? 0 ， lim n ?1 =0 n?? (2n)2 n?? n2 由迫敛性定理知： lim( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) =0 n?? n 2 (n ? 1) 2 (2n)2