高等数学第9章空间解析几何典型例题分析.docx

高等数学（2）第 9 章空间解析几何典型例题分析 例 1 填空题： 两向量a , b 相互垂直的充分必要条件是． 两向量a , b 相互平行的充分必要条件是． （3）点 A(1, 2 , ? 1) 到平面 x ? 2 y ? 3z ? 5 ? 0 距离是． （4）向量a ? {1,?2,3}的单位向量是a 0 ? ． 2x ?1 ? 0 是平行于坐标平面的平面． 解：（1）由定理 9.2 知，两向量 a , b 相互垂直的充分必要条件是 a ? b ? 0 ．应该填 a ? b ? 0 ． 由定理 9.3 知，两向量 a , b 相互平行的充分必要条件是 a ? b ? 0 ．应该填 a ? b ? 0 ． d ? d ? Ax ? By ? Cz ? D 1 1 1 A2 ? B2 ? C 2 其中{A, B, C} ? {1,2,?3} ，（ x 1? 1?1 ? 2 ? 2 ? (?3) ? (?1) ? 5 12 ? 22 ? (?3)2 , y , z 1 1 ) ? (1,2,?1) 13 14于是得 d ? ? 14 13 14故应该填： 14 a 1 1 ? 2 3 1412 ? (?2)2 ? 32a14114（4）单位向量 a 0 ? ? 14 12 ? (?2)2 ? 32 a 14 1 14 应该填写： ( , ? 2 , 3 ) 14 14（5）由平面与坐标平面的位置关系知，平面 2x ?1 ? 0 的方程中缺 y, z 两个变量，故平面平行于OYZ 平面． 14 应该填写： OYZ 例 2 单项选择题： 向量（ ）是单位向量． 1 1 1 1 1 A． (1,1,?1) B． ( , , ) C． (?1,0,0) D． ( ,0, ) 3 3 3 2 2 （2）与向量(1, 3, 1) 和(1, 0, 2) 同时垂直的向量是（ ）． (4 , 0 , ? 2)A． (3, ? 1, 0) B． (6, ? (4 , 0 , ? 2) （3）平面 3y ? 2z ? 6 ? 0 的位置是（ ）． D． (1, 0, 1) A．与 z 轴平行 B．与 y 轴平行 C．与 x 轴平行 D．与OYZ 面平行 解：（1）单位向量的条件是向量的模为 1，且向量模的计算公式为 a 2 ? a a 2 ? a 2 ? a 2 1 2 3 分别验证，则 C 正确． （2）由已知结论，同时垂直于向量(1, 3, 1) 和(1, 0, 2) 应为(1,3,1) ? (1, 0, 2) ，即 i j k (1,3,1) ? (1, 0, 2) = 1 3 1 ? 6i ? 1 j ? 3k ? (6,?1,?3) 1 0 2 则 B 正确． （3）平面 3y ? 2z ? 6 ? 0 的法向量为{0,3,?2} 与的方向向量{1,0,0} 点乘为零，说明此平面平行与 x 轴平行，则 C 正确． 例 3 求解下列问题 （1）求通过点 M (?1,3,?2) ，且通过直线 l : x ? 1 ? y ? 1 ? z 的平面方程． 3 ? 2 5 ?（2）求过点(?1,2,1) ，且平行于直线?x ? y ? 2z ? 1 ? 0 的直线方程． ? ?x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 解 （1）分析：设法找出所求平面的法向量． 因为直线在平面上，所以直线上的点(?1,1,0) 与点(?1,3,?2) 所连的向量为(0, 2, ? 2) 且直线的方向向量为 l ? (3,?2,5 ），则平面的法向量n 为 i n ? (0, 2, ? 2) ? (3, ? 2, 5) ? 0 j k 2 ? 2 ? 6i ? 6 j ? 6k 3 ? 2 5 所以，平面方程为6(x ? 1) ? 6( y ? 3) ? 6(z ? 2) ? 0 即 x ? y ? z ? 2 ? 0 （2）分析：设法找到所求直线的方向向量． 因为所求直线平行于直线 ??x ? y ? 2z ? 1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 所以所求直线的方向向量 l 为 i j k l = (1,1,?2) ? (1,2,?1) ? 1 1 ? 2 ? 3i ? j ? k 1 2 ? 1 所以，直线方程为： x ? 1 ? y ? 2 z ? 1 ? ． 3 ? 1 1