（人教版）九年级数学上册举一反三 实际问题与二次函数(全解全析）.docx

PAGE 1 专题22.5 实际问题与二次函数【十大题型】 【人教版】 【题型1 利用二次函数求最大利润】 1 【题型2 利用二次函数求最优方案】 7 【题型3 利用二次函数求最大面积】 11 【题型4 利用二次函数求最小周长】 18 【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】 24 【题型6 利用二次函数解决隧道问题】 30 【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】 36 【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】 42 【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】 49 【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】 53 【题型1 利用二次函数求最大利润】 【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台． (1)当x4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？ (2)当0x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润． 【答案】(1)生产并销售B型车床10台 (2)当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元 【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）当0x≤4时，总利润W=10(14?x)+17x，当x4时，总利润W=10(14?x)+[17?(x?4)]x，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得方程 10(14?x)+70=[17?(x?4)]x， 解得x1=10，x2 答：生产并销售B型车床10台； （2）当0x≤4时，总利润W=10(14?x)+17x， 整理得，W=7x+140， ∵70， ∴当x=4时总利润W最大为7×4+140=168(万元)； 当x4时，总利润 W=10(14?x)+[17?(x?4)]x， 整理得W=?x ∵?10， ∴当x=?11?2=5.5 又由题意x只能取整数， ∴当x=5或x=6时， ∴当x=5时，总利润W最大为?52 又∵168170， ∴当x=5或x=6时，总利润W最大为170万元， 而14?5=9， 14?6=8， 答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． 【变式1-1】（2023春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y=?2x+220，40≤x≤72 (2)70元 (3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】(1)设y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； (2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； (3)设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)， 把点50,120，60,100分别代入解析式，得 50k+b=12060k+b=100 解得：k=?2 ∴y=?2x+220， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：40≤x≤72； （2）解：根据题意得：?2x+220x?40 整理得：x2 解得：x1=70， ∵40≤x≤72， ∴x2 答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： w= ∵?20， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为