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空间直线及其方程
一、空间直线方程空间直线的点向式方程1. 首先给出直线的方向向量的概念.已知直线L,任意一个平行于L的非零向量称为这条直线的方向向量,直线方向向量s的坐标m,n,p称为这条直线的方向数,而向量s的方向余弦称为该直线的方向余弦.显然,直线上任一向量都可视为该直线的方向向量.
一、空间直线方程 在空间中给定直线L上一点M0x0,y0,z0及它的一个方向向量s=m,n,p,就可以唯一地确定直线L的位置.下面来建立直线L的方程,如图7-39所示.图7-39
一、空间直线方程 设M(x,y,z)为直线L上的任一点,那么有 与s平行,所以两向量的对应坐标成比例,从而有 (7-12) 这就是直线L的方程,称为直线的点向式方程或对称式方程.
一、空间直线方程 因为s≠0,所以m,n,p不全为零,但当m,n,p中有一个为零,如m=0时,方程(7-12)成为 表示一条平行于yOz面的直线,其上的点恒满足x=x0;而当m,n,p中有两个为零,如m=n=0时,方程(7-12)成为表示一条平行于z轴的直线,其上的点恒满足x=x0,y=y0.
一、空间直线方程 求过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相交的直线的方程. 解 因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,-3,0),于是取方向向量因此,直线方程为也可写为【例1】
一、空间直线方程 已知两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2),试求过M1,M2的直线方程. 解 由直线过点M1和M2知,其方向向量s=x2-x1,y2-y1,z2-z1,于是直线的点向式方程为【例2】
一、空间直线方程空间直线的参数方程2. 由直线的点向式方程,可以得出直线的参数方程. 设 则 此方程组就是直线的参数方程,其中t为参数.若s=m,n,p为单位向量,则t的绝对值代表动点Mx,y,z到定点M0x0,y0,z0的距离 与s同向时,t为正;反向时,t为负.
一、空间直线方程空间直线的一般方程3. 更一般的情况下,空间直线L可以看作是两个平面π1和π2的交线.设直线L是平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0与π2:A2x+B2y+C2z+D2=0的交线(见图7-40),则直线L上的任一点坐标应同时满足这两个平面的方程,即 图7-40
一、空间直线方程 反之,若点M不在直线L上,显然它不可能同时在平面π1和π2上,所以其坐标必不满足上述方程组. 由此可见,直线L可用方程组(7-13)来表示,此方程组就称为空间直线的一般方程. 通过空间一直线L的平面有无穷多个,把通过该直线的所有平面的全体称为有轴平面束,简称平面束,直线L称为平面束的轴.只要在平面束中任意选取两个平面,将其方程联立起来,所得方程组就表示空间直线L.
一、空间直线方程 已知直线的一般方程 试求其点向式方程及参数方程. 解 首先任求直线上的一点,如令x=1,可得到 解得y=-1,z=2,于是点1,-1,2在直线上.设两平面的法向量分别为n1,n2,直线的方向向量为s,则【例3】
一、空间直线方程 因此,直线的点向式方程为 令 ,得所给直线的参数方程为
一、空间直线方程 设两条不平行的直线与 若在L1与L2上分别任取M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)两点,试证明L1与L2的距离为其中s1,s2分别为L1,L2的方向向量.【例4】
一、空间直线方程
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