平面及其方程.pptxVIP

平面及其方程 平面及其方程 平面是空间曲面中最简单，也是最重要的一种.本节及下节将以向量为工具来讨论最简单的曲面和曲线，即平面和直线及其方程. 一、 平面方程平面的点法式方程1.由立体几何的知识知，过空间一点有且仅有一个平面与已知直线相垂直.据此，当已知一点M0和一个非零向量n时，可以唯一地确定一个平面π，使之过点M0且与向量n垂直.这里的向量n称为平面的法向量，其定义如下：任意垂直于一平面的非零向量,称为该平面的法线向量，简称法向量.显然平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直. 一、 平面方程已知平面π上一点M0x0,y0,z0和其法向量n=A,B,C，下面建立平面π的方程(见图7-22).图 7-22 一、 平面方程首先，设Mx,y,z是平面π上的任一点，则M0M=(x-x0,y-y0,z-z0)，且向量M0M必与法向量n垂直，因此它们的数量积等于零,即n·M0M=0.由数量积的坐标表示式可得Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0,这就是平面π上任一点Mx,y,z所满足的方程. 一、 平面方程反之，不在平面π上的点必不满足此方程.假定M1=(x1,y1,z1)不在平面π上，若满足上述方程，必有n⊥M0M1.取平面π上的任一不同于M0的点M2=(x2,y2,z2)，必有n⊥M0M2，从而必有一平面π1过M0，M1和M2三点，且n⊥π1.由π1过点M1，故π1必不同于π，即“过点M0有两个平面与向量n垂直”不成立.由此可知,Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0就是平面π的方程，而平面π即是此方程的图形.由于此方程是由平面π上的一点M0及它的一个法向量n确定,所以称此方程为平面的点法式方程. 一、 平面方程求过点1,1,-2且以n=1,-2,5为法向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 x-1-2y-1+5z+2=0，即 x-2y+5z+11=0.【例10】 一、 平面方程求通过三点A(0,1,2)，B(－1,2,3)，C(3,－1,2)的平面方程.解由向量积的定义可知，AB×AC垂直于AB和AC，所以AB×AC垂直于A，B，C三点所在的平面.因此，取n=AB×AC为所求平面的法向量，而AB={－1,1,1}，AC={3,－2,0}，所以由点法式方程可得所求的平面方程为2x+3(y－1)－(z－2)=0，即2x+3y－z－1=0.【例11】 一、 平面方程平面的一般方程2.将平面的点法式方程Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0进行整理，可得 Ax+By+Cz-Ax0+By0+Cz0=0,令D=-Ax0+By0+Cz0，则点法式方程可写为一个关于x,y,z的三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0. (7-17)反之，对任意三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，任取一个满足此方程的数组x0,y0,z0，即有Ax0+By0+Cz0+D=0，将这两个等式相减,可得 Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0, 一、 平面方程这恰为过点x0,y0,z0且以n=A,B,C为法向量的平面方程.综上所述，平面方程为一个三元一次方程，而任意三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.因此，把三元一次方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法向量为n=A,B,C.包含零系数的三元一次方程表示特殊的平面，下面讨论它们关于坐标轴的相对位置,以及这样的平面通过的特殊点或线. 一、 平面方程(1)当D=0时，方程(7-17)成为Ax+By+Cz=0，它表示一个过原点的平面.(2)当A=0时，方程(7-17)成为By+Cz+D=0，其法向量n=0,B,C垂直于x轴,它表示一个平行于x轴的平面；当B=0时，方程(7-17)成为Ax+Cz+D=0，其法向量n=A,0,C垂直于y轴,它表示一个平行于y轴的平面；当C=0时，方程(7-17)成为Ax+By+D=0，其法向量n=A,B,0垂直于z轴,它表示一个平行于z轴的平面. 一、 平面方程(3)当A=B=0时，方程(7-17)成为Cz+D=0，其法向量n=0,0,C同时垂直于x轴和y轴,它表示一个平行于xOy面的平面；当B=C=0时，方程(7-17)成为Ax+D=0，其法向量n=A,0,0同时垂直于y轴和z轴,它表示一个平面平行于yOz面的平面；当A=C=0时，方程(7-17)成为By+D=0，其法向量n=0,B,0同时垂直于x轴和z轴，它表示一个平行于zOx面的平面. 一、 平面方程求过x轴