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复习1
说是的导数.已知求其导数为现在反过来说,是的原函数.求其原函数已知2
第四章 不定积分1.原函数的概念:一、不定积分如果在开区间I内,可导函数 的即当时,或那么函数称为f(x)在区间I内的原函数.例导数为是的原函数.是在区间内的原函数.3
2.原函数存在定理如果函数在开区间内连续,那么在内存在可导函数使简言之:连续函数一定有原函数.如:问题:(1) 原函数是否唯一呢?(2) 若不唯一,又如:( 为任意常数)( 为任意常数)它们之间有什么联系?4
3.原函数结构定理:(1)若是的一个原函数,则都是的原函数.(2)若都是的原函数,一个常数.证而都是的原函数.(1)(2)( 为任意常数)则与只差即只差一个常数.与5
注意:(1)是积分常数,不能丢掉.(2)不定积分也常说“积分”.任意常数积分号被积函数积分变量被积表达式4.不定积分的概念函数在开区间内带有任意常数C的原函数称为函数的不定积分.记为定义:6
5.微分法与积分法的关系(1)(2)先积后微,先微后积,结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的.如:dddddx函数不变.函数加7
例1求解解例2求注意若在提出问题时不指明区间,则在解题时通常也不指明求出的原函数所适用的区间,只要确有区间,就有使得通常把求不定积分的方法称为积分法.8
例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,2),所求曲线方程为显然,斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.求不定积分得到一积分曲线族.9
6.不定积分的几何意义x不定积分dx表示一族函数,在几何上,它们表示一族曲线,称为函数的积分曲线族,其中任何一条积分曲线都可以由某一条沿y轴方向平移得到,并且积分曲线族上对应于同一坐标x的各点处有相同的斜率xyo10
二、基本积分公式12345C11
请大家熟记以上公式678910111213基本积分公式表(1)12
三、不定积分的性质证(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)所以等式成立.(k是常数,13
解注意1:注意2:分项积分后,只需写出一个常数.检验积分结果是否正确,例4 求积分看它的导数是否等于被积函数.原式=只需对结果求导,14
解积分方法.直接积分法:通过恒等变形,把所给积分变成公式中有的形式,求出积分的方法.解例6求例5求15
解解原式=例8求例7求16
解原式=解原式=例10求例9求17
原式=解原式=解例12求例11求18
例14例1319
3.基本积分表(1)5.不定积分的性质 1.原函数的概念:2.不定积分的概念:4.求微分与求积分的互逆关系四.小结20
练习题无数多常数所有原函数积分曲线积分曲线族平行连续21
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