高等数学不定积分概念与性质.ppt

复习1 说是的导数.已知求其导数为现在反过来说，是的原函数.求其原函数已知2 第四章 不定积分1.原函数的概念：一、不定积分如果在开区间I内，可导函数 的即当时，或那么函数称为f(x)在区间I内的原函数.例导数为是的原函数.是在区间内的原函数.3 2.原函数存在定理如果函数在开区间内连续，那么在内存在可导函数使简言之：连续函数一定有原函数.如：问题：(1) 原函数是否唯一呢？(2) 若不唯一，又如：（ 为任意常数）（ 为任意常数）它们之间有什么联系？4 3.原函数结构定理：(1)若是的一个原函数，则都是的原函数.(2)若都是的原函数，一个常数.证而都是的原函数.(1)(2)（ 为任意常数）则与只差即只差一个常数.与5 注意：(1)是积分常数，不能丢掉.(2)不定积分也常说“积分”.任意常数积分号被积函数积分变量被积表达式4.不定积分的概念函数在开区间内带有任意常数C的原函数称为函数的不定积分.记为定义：6 5.微分法与积分法的关系(1)(2)先积后微，先微后积，结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.如：dddddx函数不变.函数加7 例1求解解例2求注意若在提出问题时不指明区间，则在解题时通常也不指明求出的原函数所适用的区间，只要确有区间，就有使得通常把求不定积分的方法称为积分法.8 例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1，2),所求曲线方程为显然，斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.求不定积分得到一积分曲线族.9 6.不定积分的几何意义x不定积分dx表示一族函数，在几何上，它们表示一族曲线，称为函数的积分曲线族，其中任何一条积分曲线都可以由某一条沿y轴方向平移得到，并且积分曲线族上对应于同一坐标x的各点处有相同的斜率xyo10 二、基本积分公式12345C11 请大家熟记以上公式678910111213基本积分公式表(1)12 三、不定积分的性质证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）所以等式成立.(k是常数，13 解注意1：注意2：分项积分后，只需写出一个常数.检验积分结果是否正确,例4 求积分看它的导数是否等于被积函数.原式=只需对结果求导,14 解积分方法.直接积分法：通过恒等变形，把所给积分变成公式中有的形式，求出积分的方法.解例6求例5求15 解解原式=例8求例7求16 解原式=解原式=例10求例9求17 原式=解原式=解例12求例11求18 例14例1319 3.基本积分表(1)5.不定积分的性质 1.原函数的概念：2.不定积分的概念：4.求微分与求积分的互逆关系四.小结20 练习题无数多常数所有原函数积分曲线积分曲线族平行连续21 22