隐函数及参数方程所确定的函数的求导法.pptxVIP

隐函数及参数方程所确定的函数的求导法 一、隐函数的导数前面研究的函数都可以表示为y=f（x）的形式，例如y=x＋x2，y=arctan（lnx）等.用这种方式表达的函数叫作显函数．在实际问题中，常常碰到一些函数是由方程F（x，y）=0确定的．例如，方程3x＋y2＋5=0表示一个函数.这样的函数称为隐函数． 把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如，从方程3x＋y2＋5=0解出y=± -5-3x，就把隐函数化成显函数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如，ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f（x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x，f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导，便可得到所求的导数．我们通过几个例子来说明这种方法．√一、隐函数的导数 求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数．解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得【例1】一、隐函数的导数 求由方程ey=xsiny所确定的隐函数y=f（x）的导数．解 方程两端同时对x求导，得 若平面曲线Ｃ由方程F（x，y）=0给定，则用上面的方法可求得曲线Ｃ上任一点处的切线与法线．【例2】一、隐函数的导数 【例3】一、隐函数的导数 下面，我们来介绍一种重要的求导方法——对数求导法，这是一种利用对数的性质与隐函数的求导法则来简化导数计算的方法．它适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数的求导．这种方法是先在y=f（x）的两边取对数，得到隐函数lny=lnf（x）；然后按照隐函数求导数的思路，求出y对x的导数. 下面举几个例子.一、隐函数的导数 求函数y=xx（x0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得lny=xlnx，两边对x求导，得【例4】一、隐函数的导数 【例5】一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数方程来表示．一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数．对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求导． 如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t）存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求导法则，得 以后把上式作为参数方程所确定函数的导数公式．二、由参数方程所确定的函数的导数 【例6】二、由参数方程所确定的函数的导数 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向．解 先求速度的大小．由于速度的水平分量为 【例7】二、由参数方程所确定的函数的导数 这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点（见图2-5）．二、由参数方程所确定的函数的导数 谢谢聆听