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Department of Mathematics Department of Mathematics 演示文稿单纯矩阵的谱分解 本文档共24页；当前第1页；编辑于星期一\16点59分 （优选）单纯矩阵的谱分解 本文档共24页；当前第2页；编辑于星期一\16点59分 矩阵的分解 第 四 章 本文档共24页；当前第3页；编辑于星期一\16点59分  §4.4 单纯矩阵的谱分解 定理1: 设 是一个 阶可对角化的矩阵，相异 特征 值为 ，则 使得: 此式称为A的谱分解 称为A的谱族 且满足: 本文档共24页；当前第4页；编辑于星期一\16点59分 分析: 设 是 的代数重复度 则: 本文档共24页；当前第5页；编辑于星期一\16点59分 证明(1) 因为 所以: 证明(2) 本文档共24页；当前第6页；编辑于星期一\16点59分 (3)由 得 同理可得 证明: 而: ,所以: 证明: 证明:(5) 假设A有谱分解 和 本文档共24页；当前第7页；编辑于星期一\16点59分 则由(3)知: 由于 ,所以: 同理可得: 因为 因为 所以, 唯一性得证 本文档共24页；当前第8页；编辑于星期一\16点59分 可对角化矩阵的谱分解步骤： （1）首先求出矩阵 的全部互异特征值 及每个特征值 所决定的线性无关特征向量 （3）令: （2）写出 （4）最后写出 本文档共24页；当前第9页；编辑于星期一\16点59分 例1：已知矩阵 为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。 解: 首先求出矩阵 的特征值与特征向量。 容易计算 从而 的特征值为 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量: 本文档共24页；当前第10页；编辑于星期一\16点59分 于是 本文档共24页；当前第11页；编辑于星期一\16点59分 取 令 那么其谱分解表达式为 本文档共24页；当前第12页；编辑于星期一\16点59分 正规阵的谱分解: 设 为正规矩阵，那么存在 使得: 其中 是矩阵 的特征值 所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵 的谱分解表达式。 本文档共24页；当前第13页；编辑于星期一\16点59分 设正规矩阵 有 个互异的特征值 ， 特征值 的代数重数为 ， 所对应的个两两正交的单位特征向量为 ,则 的谱分解表达式又可以写成 其中 ，并且显然有: 本文档共24页；当前第14页；编辑于星期一\16点59分 （6）满足上述性质的矩阵 是唯一的。我们称 为正交投影矩阵。 即对于正规阵,满足如下6条: 推论1 设 是一个 阶可对角化的矩阵， 谱分解为: ,若: 则有 本文档共24页；当前第15页；编辑于星期一\16点59分 解：首先求出矩阵 的特征值与特征向量。容易计算 例 2 ： 求正规矩阵 的谱分解表达式。 从而 的特征值为 本文档共24页；当前第16页；编辑于星期一\16点59分 当 时，求得三个线性无关的特征向量为 当 时，求得一个线性无关的特征向量为 将 正交化与单位化可得 本文档共24页；当前第17页；编辑于星期一\16点59分 Department of Mathematics Department of Mathematics