高等数学第七章 无穷级数.ppt

第七章 无穷级数第一节 数项级数第二节 幂级数第三节 傅立叶级数 数项级数因为上式每一项都是常数，所以也叫常数项级数，简称数项级数. 级数的部分和 级数的收敛与发散 示 例讨论几何级数 的敛散性.∴所给级数收敛，和为1 示 例讨论几何级数 的敛散性.∴所给级数收敛，和为1 示 例讨论调和级数 的敛散性.观察图中阴影部分，可以看出 第一块矩形的面积 第二块矩形的面积 第 块矩形的面积 …… 示 例所以阴影部分的总面积为 显然大于与其对应的曲边梯形的面积 因此调和级数是发散的 两个重要的级数 无穷级数的基本性质性质一 性质二 无穷级数的基本性质性质三 性质四 示 例判断级数 的敛散性. 示 例判断级数 的敛散性. 正项级数 正项级数敛散性的判别法比较判别法 示 例判断级数 的敛散性. 正项级数敛散性的判别法极限形式的比较判别法 正项级数敛散性的判别法 示 例判断级数 的敛散性. 正项级数敛散性的判别法比值判别法 示 例判断级数 的敛散性. 任意项级数敛散性的判别法若交错级数 满足条件则该级数收敛，且其和 莱布尼茨定理 示 例判断级数 的敛散性. 任意项级数敛散性的判别法 示 例判断级数 的敛散性.所以由比值判别法判知 绝对收敛与条件收敛 示 例判断级数 是绝对收敛、条件收敛还是发散. 示 例 第七章 无穷级数第一节 数项级数第二节 幂级数第三节 傅立叶级数 函数项级数 函数项级数的收敛所有收敛点的集合称为收敛域。 幂级数 称为幂级数的收敛半径，此时幂级数的收敛域是以原点为中心，以 为半径的一个区间，此区间称之为收敛区间.幂级数的收敛半径与收敛区间 幂级数的收敛半径的判定 示 例求 的收敛半径. 示 例求 的收敛区间. 示 例 幂级数的运算性质性质一 性质二 幂级数的运算性质性质三 性质四 幂级数的运算性质 示 例求幂级数 在其收敛区间 内的和函数，并求 的和.设级数的和函数为 ，则 逐项积分得 两边求导得 示 例 函数展开为幂级数麦克劳林级数 定 理 定 理 注 意函数的麦克劳林级数是唯一的.函数的麦克劳林级数 ≠ 把函数展开为麦克劳林级数求出函数的麦克劳林级数 不仅求出函数的麦克劳林级数，而且该级数收敛于函数本身 函数展开为麦克劳林级数的方法直接展开法 示 例将函数 展开为 的幂级数. 示 例 函数展开为麦克劳林级数的方法间接展开法 从已知函数的幂级数展开式出发，通过变量替换、四则运算，或逐项求导、逐项积分等方法求出未知函数的展开式 示 例将函数 展开为 的幂级数. 示 例将函数 展开为 的幂级数. 第七章 无穷级数第一节 数项级数第二节 幂级数第三节 傅立叶级数 三角级数 三角函数族 三角函数族的正交性 函数的傅立叶级数则 函数的傅立叶级数 傅立叶级数的敛散性 示 例设 是周期为 的函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅立叶级数 示 例先计算傅立叶系数 示 例 示 例 注 意 注 意 示 例设 是周期为 的函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅立叶级数是周期为 的奇函数 示 例 示 例