河海大学弹性力学徐芝纶版课件.ppt

第四节 简支梁受均布荷载 第三章 平面问题的直角坐标解答按 求解§3－1 逆解法和半逆解法多项式解法1.当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足⑴ A内相容方程⑵ S = 上应力边界条件,⑶ 多连体中的位移单值条件。(c) 第三章 平面问题的直角坐标解答对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是(d) 第三章 平面问题的直角坐标解答逆解法2 .逆解法 (Inverse method)── 先满足(a),再满足(b)。步骤:⑴ 先找出满足的解⑵ 代入(d), 求出⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力，(e) 第三章 平面问题的直角坐标解答逆解法从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。 第三章 平面问题的直角坐标解答逆解法例1设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？h/2h/2oxl( l h)y 第三章 平面问题的直角坐标解答解：按逆解法。1. 将 代入相容方程，可见是满足的。 有可能成为该问题的解。2. 由 求出应力分量 第三章 平面问题的直角坐标解答h/2h/2xly3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，因此，在的边界面上，无任何面力作用，即 第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0，l的次要边界（小边界）上，h/2h/2xly 第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0,l 小边界上的面力 如下图中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。(a)M=FlFF(b) 第三章 平面问题的直角坐标解答由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x = 0 处受集中力F作用的问题。F 第三章 平面问题的直角坐标解答逆解法例2 一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。例3 二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。b2a2abxxxooob2c2cy byy 第三章 平面问题的直角坐标解答作 业对于图示1/4圆薄板，试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示） 第三章 平面问题的直角坐标解答半逆解法3.半逆解法(Semi-inverse method)步骤：⑴ 假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；⑵ 由应力(d)式，推测 的函数形式；⑶ 代入，解出 ；(d) 第三章 平面问题的直角坐标解答半逆解法⑷ 由式（d），求出应力；⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。 第三章 平面问题的直角坐标解答半逆解法思考 题1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。 第三章 平面问题的直角坐标解答逆解法解题的基本步骤半逆解法解题的基本步骤单连体 第三章 平面问题的直角坐标解答问题提出§3-2 矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲(Pure bending)问题。h/2h/2oyxMMl( l h) 第三章 平面问题的直角坐标解答本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及上的应力边界条件。求解步骤：⑴ 由逆解法得出，可取 ，且满足⑵ 求应力(a) 第三章 平面问题的直角坐标解答边界条件⑶ 检验应力边界条件，原则是:a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。 h/第三章 平面问题的直角坐标解答主要边界h/2M oM2x主要边界yl从式(a)可见，边界条件(b)均满足。次要边界 x=0, l,(c)满足。 第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界主要边界h/h/22次要边界 x=0, l,M oMx的边界条件无法精确满足。yl用两个积分的条件代替 第三章 平面问题的直角坐标解答式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)当 时，即使在边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。 第三章 平面问题的直角坐标解答思考 题如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。 第三章 平面问题的直角坐标解答问题提出§3-3 位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。 第三章 平面问题的直角坐