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2015 复旦附中自主招生数学试题
2015 复旦附中自主招生数学试题 A
1 .实数x 、y 、z 满足 xz z x x y y x=++-+++- ,
则 x+y-z=_____ .
2 .若3
1001 的分子、分母同时加上正整数 n 时,该分数称为整数,这样
的正整数 n 共有__个.
3 .已知a 2=7-3a ,b 2=7-3b ,且a≠b ,则=+22b
a a
b ______ . 4 .设P 是奇质数,则方程 2xy=p(x+y)满足 x=
5 .方程21
21111??? ??-+??? ??-=x x x x 的解为____________ .
6 .如图,正方形ABCD 的边长为 100 米,甲、乙两个动点分别
从 A 点和 B
点同时出发按逆时针方向移动,甲的速度是 7 米/秒,乙的速度是
10 米/经过_____秒,甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上.
7 .已知△ABC是等边三角形,动点P、Q、R分别同时从顶点A、
B、C出发,沿 AB 、BC 、CA 按逆时针方向以各自的速度匀速移动,
且 P 、Q 、R 经过△ABC 的一边所用时间分别为 1 秒、2 秒、3 秒.从
运动开始起,在 1 秒内,经过_____秒△PQR 的面积取到最小值.
8 .二次函数f (x)的图像开口向上,与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y
轴交与点 C ,以D 为顶点,若三角形 ABC 的外接圆与 y 轴相切,且
∠DAC=150°,则 x≠0 时,x x f )(的最小值是_____ .
二、解答题
9 .已知a 是正常数,且关于 x 的方程
2311212+-=-+-x x ax x x 仅有一个实数根 ,求实数 a 的取值
范围.
10 .如图,抛物线的顶点坐标是??
-89,25 ,且经过点A(8 ,14) .
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与 y 轴相交于点 B ,与x 轴相交于 C 、D 两点(点
C 在点 D 的左边) ,求点B 、
C 、
D 的坐标.
(3)设点 P 是 x 轴上的任意一点,分别连结 AC 、BC .比较PA+PB
与 AC+BC 的大小关系,说明理由.
2015 复旦附中自主招生数学试题 B
1 .若x=ab ,y=a 2+b 2 ,则()()22y x y x -++=______ .
2 .x
k y =上一点 C ,以C 为圆心,1 为半径画圆,圆上有 2 点到 O 点
距离为 2 ,则k 的取值范围为__________ .
3 .设x 1、x 2 为 x 2-2px-p=0 的两实根,p 为实数. ①求证:
2px 1+x 22+3p≥0;
②当|x 1-x 2|≤|2p -3|时,求 p 的最大值.
4 .实数a 1 ,a 2 ,…,a n 满足:①a 1+a 2+…+a n =0;②|a
1|+|a 2|+…+|a n |=1. 求证: k 个数 (k=1 ,2 ,…,n) ,|a 1+a
2+…+a k |≤21.
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