生物医学信号处理-6.2-AR模型估计功率谱课件.pptx

? AR模型参数和自相关函数的关系;;带入式 得到:;显然，AR模型输出信号的自相关函数具有递推的性质：;上式方程组的系数都是自相关矩阵，由于自相关函数是偶对称函数， 因而自相关矩阵是对称矩阵，与主对角线平行的斜对角线上的元素都是相同的，是(p+1)x(p+1)的维托毕兹(Toeplitz)矩阵，所以存在高 效算法，其中应用广泛的有Levinson-Durbin (L-D)算法。Yule- Walker(Y-W)方程表明，只要己知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出AR模型中的参数{ak}，并且需要的观测数据较少。;例 己知自回归信号模型AR (3)为:;解：a.已知的是模型参数{ak},a1=-14/24 ,a2 = - 9/24,a3= -1/24，来求自相关序列Rxx(m);利用式;c.利用给出的32点观测值，先求自相关序列 由于偶对称，只给出m=0, 1, 2...31的值;把头4个相关序列值代入计算矩阵求得估计值:;估计功率谱;Y-W方程的解法：L-D算法;若序列的模型己知而用过去观测的数据来推求现在和将来的数据称为前向预测器，表示为;假如m=p， 且预测系数和AR模型参数相同，比较下两式，把预测误差系统框图和AR模型框图给出，如下图所示，即有w(n)=e(n)，即前向预测误差系统中的输入为x(n) ,输出为预测误差e(n)等于白噪声。也就是说前向预测误差系统对观测信号起了白化的作用。由于AR模型和前向预测误差系统有着密切的关系，两者的系统函数互为倒数，所以求AR模型参数就可以通过 求预测误差系统的预测系数来实现。;求预测误差均方值:;或者;L-D算法的基本思想就是根据Y-W方程式或式(1),(2),(3)，自相关序列具有递推的性质，L-D递推算法是模型阶数逐渐加大的一种算法，先计算阶次 m=1时的预测系数{am(k)}=a1(1)和σw1 ，然后计算m=2时的{am(k)}=a;如按照式(1)，(3)，取m=1，代入，简化下标，则有:;;;例：己知自回归信号模型AR (3)为:;解：1.利用给出的32点观测值，先求自相关序列;其结果和上例中一致;给定观测序列后很容易用L-D算法来进行AR模型参数的估计，但是如何确定阶数p? AR模型的阶数选择不同得到的模型不同，效果相差较大，因而如何 选择阶数很重要。国内外学者在这方面都做了许多研究工作，其中基于均方误差最小的最终预测误差（FPE）准则是确定AR模型阶次比较 有效的???则。;最终预测误差准则定义:给定观测长度为N，从某个过程的一次观测数据中 估计到了预测系数，然后用该预测系数构成的系统处理另一次观察数据，则有预测均方误差，该误差在某个阶数p时为最小，其表达式为:;AR模型的稳定性;但在实际应用中, Levinson-Durbin算法的已知数据(自相关值)是由 xN(n)来估计的,有限字长数应有可能造成大的误差,致使估计出来的AR(p)参数所构成的A(z)的根在单位圆上或外,从而使模型失去稳定。在递推计算过程中如果出现这种情况,将导致σk20或|am(m)|≥1,即停止递推计算。