不动点与数列不等式问题.docx

实用文案 4 不动点与数列不等式问题 在历届高考试题中，求数列的通项或证明数列不等式的内容，占有一定的篇幅．在 文献[12]中研究探讨了高考题中涉及到递推数列 x n?1 ? f (x n ) 的一类不等式问题，把近几 年高考数学中出现的这类试题概括在下列两个命题中： 命题 2[12] 设 f (x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导， 且 f ?(x) ? 0 ， f (a) ? a ， f (b) ? b ．数列?x n ?满足 x 1 ? a ， x n?1 ? f (x n ) ， n ? 1,2,3, ，则 a ? x ? x ? b ， n ? 1,2,3, . n n?1 命题 3[12] 设 f (x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且 f ?(x ) ? 0 ， f (a) ? a ， f (b) ? b ．数列?x n ?满足 x 1 ? b ， x n?1 ? f (x n ) ， n ? 1,2,3, ，则 a ? x ? x ? b ， n ? 1,2,3, . n?1 n 利用上述两个命题，把2005 年江西卷、2006 年陕西卷、2006 年湖南卷、1986 年全国卷、2007 年广东卷以及文献[13-15]中等诸多同类试题或例题进行了统一处理，这些试题往往与递推函数的不动点相关联． 事实上，还有一种类型的递推数列不等式问题，它涉及到两个递推数列，联系它们的是迭代函数具有公共的不动点，上面命题 2 或命题 3 就显得无能为力了．下面我们以 2007 年全国高考数学（理科）第 22 题为例，结合不动点思想，用三种方法给出它的另解， 以揭示这类问题的一些处理方法． 例 8 (2007 年 全 国 高 考 理 科 卷 第 22 题 ) 已 知 数 列 ?a n ? 中 ， a 1 ? 2 ， 2a ? ( 2 n?1 ?1)(a n ? 2) ， n ? 1,2,3, . （Ⅰ）求?a n ?的通项公式； （Ⅱ）若数列 ?b ?中b n 1 ? 2 ， b n?1 3b ? 4 ?n2b ? 3 ? n n ， n ? 1,2,3, .证明： 2? b ? a 2 n 标准  4n?3 ， n ? 1,2,3, . 实用文案 参考答案中求出了?a n ?的通项公式，然后用数学归纳法证明了不等式，本题中第（Ⅰ） 2部分较为简单，难点是第（Ⅱ）部分中关于不等式的证明，参考答案中用数学归纳法先 2 后证明了不等式 b ? n 与b ? a 2n 4n?3 2 ，其中不等式 b ? n 容易证明，但要进一步得到 b ? a n 4n?3 却比较困难．下面将利用不动点思想，给出三种不同于参考答案的方法． 解法 1 （Ⅰ）（略）； （Ⅱ） 考虑?b ?的迭代函数 g(x) ? 3x ? 4 ，x ? 0 ．易知?b ?满足b  ? 2 ，b ? g(b ) ， n 2x ? 3 n 1 n?1 n 2n ? 1,2,3, . 由 于 2 g x( ? ) 1 ? ， 0 注 意 到 g( 2) ? ， 则 由 ( x2? 2 3 ) 2b ? 2 ? 2 1 ? g( b?) 1 g(，即2b )? 2 ? g(b 22 2 ) ? g( 2) ，即b ? 3 ，…，用归纳法易 22证b ? 2 2 n ， n ? 1,2,3, . 设c ? a n 4n?3 ，则c 1 ? a ? 2 ，c 1 n?1 ? a ? ( 24n?1 2 ?1)(c 2n 2 ? 2) ，n ? 1,2,3, . 欲证b n ? a ， 4n?3 只需证明b n ? c ，为此考虑?c n n ?的迭代函数 f (x) ? ( ?1)(x ? 2) ，由于 f (x) ? 2 ?1，而 g (x) ? 1 ? 1 ，故0 ? g (x) ? f (x) ? 1 ． (2 x ? 3)2 9 记 F (x) ? f (x) ? g(x) ， F (x) ? 0 ，下面用数学归纳法证明b n ? c ， n ? 1,2,3, . n 当n ? 1 时成立，假设b k ? c ，则 f (b k k ) ? f (c k ) ，又由b ? k ? F (b 2k 2 ) ? F ( 2) ? 0 ， 即 f (b k ) ? g(b k ) ，于是 g(b k ) ? f (c k ) ，即得b k ?1 ? c k ?1 ，结论得证． 解法 2 （Ⅰ）（略）； （Ⅱ）利用不动点求出 ?b ?的通项公式：考虑函数 f (x) ? n  3x ? 4 的不动点，即方程 222